Cho biết \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{ax^2 + 1 - bx - 2}}{x^3 - 3x + 2} (a, b \in \mathbb{R})\) có kết quả là một số thực. Tìm \(a, b\)

Để tìm \(a, b\) sao cho giới hạn \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{ax^2 + 1 - bx - 2}}{x^3 - 3x + 2}\) có giá trị là một số thực, ta cần phân tích biểu thức trong giới hạn này.

1. **Phân tích mẫu số**:
\[
x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2) = (x - 1)(x - 1)(x + 2) = (x - 1)^2(x + 2)
\]
Khi \(x \to 1\), mẫu số \(x^3 - 3x + 2 \to 0\).

2. **Phân tích tử số**:
Ta cần để cho tử số cũng đi tới 0 khi \(x \to 1\), tức là:
\[
\sqrt{a(1)^2 + 1 - b(1) - 2} = \sqrt{a + 1 - b - 2} = \sqrt{a - b - 1} = 0
\]
Điều này xảy ra khi:
\[
a - b - 1 = 0 \implies a - b = 1 \implies a = b + 1
\]

3. **Tìm đạo hàm bậc nhất**:
Để giới hạn tồn tại và có giá trị hữu hạn, tỉ số phải có dạng \(\frac{0}{0}\) và ta cần thử sử dụng định lý l'Hôpital:
Đạo hàm của tử số:
\[
\text{Đạo hàm} \sqrt{ax^2 + 1 - bx - 2} = \frac{1}{2\sqrt{ax^2 + 1 - bx - 2}}(2ax - b)
\]

Đạo hàm của mẫu số:
\[
3x^2 - 3
\]
Ta đánh giá giới hạn:
\[
\lim_{x \to 1} \frac{(2a \cdot 1 - b)}{(3 \cdot 1^2 - 3)} = \frac{2a - b}{0} \text{ (phải có điều kiện)}
\]
Để giới hạn không có dạng vô định, ta cần \(2a - b = 0\).

4. **Giải hệ phương trình**:
Ta có hai phương trình:
\[
a = b + 1 \quad (1)
\]
\[
2a - b = 0 \quad (2)
\]
Từ (1) thay vào (2):
\[
2(b + 1) - b = 0 \implies 2b + 2 - b = 0 \implies b + 2 = 0 \implies b = -2
\]
Thay \(b\) vào (1):
\[
a = -2 + 1 = -1
\]

Vậy nghiệm là:
\[
(a, b) = (-1, -2)
\]