Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn : xyz = 1 và x+y+z = 1/x + 1/y + 1/z . Tính A = ( x^68 - 1 )(x^69 - 1 )(x^70 - 1 )

Bài 1:
Chúng ta có các số thực \(x, y, z\) thỏa mãn hệ điều kiện:

\[
xyz = 1
\]

\[
x + y + z = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}
\]

Ta có thể viết lại phương trình thứ hai như sau:

\[
x + y + z = \frac{yz + zx + xy}{xyz}
\]

Vì \(xyz = 1\) nên ta có:

\[
x + y + z = yz + zx + xy
\]

Giả sử \(x, y, z\) là các nghiệm của một đa thức bậc 3 có dạng:

\[
t^3 - pt^2 + qt - r = 0
\]

với \(p = x + y + z\), \(q = xy + yz + zx\) và \(r = xyz\). Từ đó ta có:

\[
r = 1 \quad \text{và} \quad p = q = x + y + z
\]

Do đó, từ điều kiện \(x + y + z = xy + yz + zx\) ta suy ra:

\[
q = p
\]

Điều này cho thấy rằng:

\[
x, y, z \quad là\quad các\quad nghiệm\quad của\quad phương\quad trình \quad t^3 - pt^2 + pt - 1 = 0
\]

Hãy cùng xem các giá trị của \(x, y, z\). Để tìm \(A = (x^{68} - 1)(x^{69} - 1)(x^{70} - 1)\), chúng ta sẽ xem xét trường hợp \(x = y = z\). Vì \(xyz = 1\), suy ra \(x = y = z = 1\).

Mà \(A = (1^{68} - 1)(1^{69} - 1)(1^{70} - 1) = 0\).

Vậy

\[
\boxed{0}
\]

Bài 2: (Thực ra là bài 1 phát sinh từ câu hỏi ban đầu)

Ta đã tính ở trên. Kết quả là \(A = 0\).

Bài 3:
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\[
M = 27 - \frac{12x}{x^2 + 9}
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(M\), trước tiên chúng ta cần tối thiểu hóa phần \(\frac{12x}{x^2 + 9}\).

Đặt:

\[
f(x) = \frac{12x}{x^2 + 9}
\]

Để tìm cực trị, ta tính đạo hàm:

\[
f'(x) = \frac{(12)(x^2 + 9) - 12x(2x)}{(x^2 + 9)^2}
\]

Đạo hàm bằng 0 khi:

\[
12(x^2 + 9) - 24x^2 = 0
\]

\[
-12x^2 + 108 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -3
\]

Tính giá trị của \(f\) tại \(x = 3\) và \(x = -3\):

- Nếu \(x = 3\):

\[
f(3) = \frac{12 \cdot 3}{3^2 + 9} = \frac{36}{18} = 2
\]

- Nếu \(x = -3\):

\[
f(-3) = \frac{12 \cdot (-3)}{(-3)^2 + 9} = \frac{-36}{18} = -2
\]

Giá trị cực tiểu là -2, do đó:

\[
M = 27 - f(x)
\]

Giá trị cực tiểu của \(M\) được tính bằng:

\[
M_{min} = 27 - (-2) = 29
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M\) là:

\[
\boxed{29}
\]