Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên

Để tìm giá trị nguyên của \( x \) sao cho biểu thức nhận giá trị nguyên, chúng ta sẽ xem xét từng biểu thức một.

### Với biểu thức a:
\[
\frac{4}{\sqrt{x+1}}
\]
Để biểu thức này nhận giá trị nguyên, \(\sqrt{x + 1}\) phải là ước nguyên của 4. Điều này có nghĩa là \(\sqrt{x + 1}\) có thể nhận các giá trị: 1, 2 hoặc 4 (bởi vì \(1^2 = 1\), \(2^2 = 4\), và \(4^2 = 16\)).

Vậy ta có:
1. \(\sqrt{x + 1} = 1 \Rightarrow x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0\)
2. \(\sqrt{x + 1} = 2 \Rightarrow x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3\)
3. \(\sqrt{x + 1} = 4 \Rightarrow x + 1 = 16 \Rightarrow x = 15\)

### Với biểu thức b:
\[
\frac{\sqrt{x - 3}}{\sqrt{x + 2}}
\]
Để biểu thức này nhận giá trị nguyên, cả \(\sqrt{x - 3}\) và \(\sqrt{x + 2}\) phải tồn tại và \(\sqrt{x + 2} \neq 0\).

- Từ điều kiện tồn tại:
- \(x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3\)
- \(x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2\)

Vì \(x \geq 3\) là điều kiện mạnh hơn, chúng ta chỉ xét từ \(x \geq 3\).

Đặt \(k = \sqrt{x + 2}\), ta có:
\[
x = k^2 - 2 \Rightarrow x - 3 = k^2 - 5 \Rightarrow \sqrt{x - 3} = \sqrt{k^2 - 5}
\]
Biểu thức trở thành:
\[
\frac{\sqrt{k^2 - 5}}{k}
\]
Để biểu thức này nhận giá trị nguyên, \(k\) cần thỏa mãn \(k^2 - 5\) là một số chính phương.

Gọi \(m^2 = k^2 - 5\) thì \(k^2 = m^2 + 5\), hay:

\[
k^2 = (m + \sqrt{5})(m - \sqrt{5})
\]

Do đó, \( k \) phải là một số nguyên lớn hơn hoặc bằng \(\sqrt{5}\).

Xét các giá trị nguyên cho \(m\) để tìm \(k\):
1. Nếu \(m = 3\), \(k = 4\) \(\Rightarrow x = 14\) (tính được nguyên)
2. Nếu \(m = 1, m = 2, m = 0\) cho các \(k\) cũng cho \(x\) nguyên.

### Tóm lại
- Từ biểu thức a, chúng ta có các giá trị nguyên: \(x = 0, 3, 15\).
- Từ biểu thức b, các giá trị \(x = 3\) hoặc giá trị khi \(k\) là một số nguyên cũng cho kết quả nguyên.

Do đó, các giá trị nguyên của \(x\) phù hợp với cả hai biểu thức là: **\(x = 3\) (chắc chắn)** và \(0, 15\) từ biểu thức a.