Chúng ta sẽ chứng minh từng yêu cầu trong bài toán có liên quan đến tam giác ABC với \( AB = AC \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \).

### a) Chứng minh: tam giác AMB = tam giác AMC

**Giải:**
- Trong tam giác ABC, ta có \( AB = AC \).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( BM = MC \).
- Xét hai tam giác AMB và AMC, ta có:
* Cạnh \( AB = AC \) (giả thiết).
* Cạnh \( BM = MC \) (tính chất trung điểm).
* Cạnh chung \( AM \).

Áp dụng tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCB), ta có:

\[
\triangle AMB \cong \triangle AMC
\]

### b) Chứng minh: AE = AF

**Giải:**
- Từ \( M \), kẻ \( ME \) vuông góc với \( AB \) và \( MF \) vuông góc với \( AC \).
- Ta có \( \triangle AMB \cong \triangle AMC \) chứng minh ở phần a.
- Các góc \( \angle AME = \angle AMF = 90^\circ \).
- Các cạnh \( AB = AC \) (giả thiết) và \( AM \) là cạnh chung.
- Theo định lý về hai tam giác đồng dạng, \( AE = AF \) (cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau).

### c) Chứng minh: EF // BC

**Giải:**
- Ta có \( AE = AF \) (chứng minh ở phần b).
- Từ đó, ta có \( MEF \) là đoạn thẳng nối hai điểm \( E \) và \( F \).
- \( ME \perp AB \) và \( MF \perp AC \), nghĩa là \( EF \) là đường thẳng song song với \( BC \) (do hai góc tương ứng bằng nhau).

### d) Chứng minh: A, M, N thẳng hàng

**Giải:**
- Từ điểm \( B \), kẻ đường thẳng vuông góc với \( AB \), cắt \( AB \) tại \( D \).
- Từ điểm \( C \), kẻ đường thẳng vuông góc với \( AC \), cắt \( AC \) tại \( E \).
- Chúng ta chứng minh \( D \) thuộc \( AE \) qua việc sử dụng các số đo góc.

Do tam giác AMB và AMC là hai tam giác đồng dạng và cùng có độ dài đoạn trung tuyến từ đáy tới đỉnh bằng nhau, suy ra \( M \) là điểm giao giữa đường thẳng vuông góc từ \( B \) tới \( AB \) và đường thẳng vuông góc từ \( C \) tới \( AC \). Từ đó suy ra:

\[
A, M, N \text{ thẳng hàng}
\]

### Hình vẽ:

Mời bạn vẽ theo hướng dẫn sau:

1. Vẽ tam giác đều ABC với AB = AC.
2. Đánh dấu M là trung điểm của BC.
3. Vẽ đường thẳng vuông góc từ M đến AB (cắt tại E) và từ M đến AC (cắt tại F).
4. Vẽ đường vuông góc từ B đến AB (cắt tại D) và từ C đến AC (cắt tại E).
5. Đánh dấu rõ các điểm A, B, C, M, E, F, N.

Hy vọng những chứng minh trên hữu ích với bạn!