Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ đi lần lượt từng phần một.

### a) Chứng minh: tam giác ADE cân.

1. Trong tam giác ABC cân tại A có \(AB = AC\).
2. Theo định nghĩa, \(D\) là chân đường vuông góc từ \(B\) đến \(AC\), và \(E\) là chân đường vuông góc từ \(C\) đến \(AB\).
3. Do \(AD\) vuông góc với \(AC\) nên \( \angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ} \).
4. Do \(AE\) vuông góc với \(AB\) nên \( \angle AEB = \angle AEC = 90^{\circ} \).
5. Xét 2 tam giác \(ABE\) và \(ABD\):
- Việc \(AB = AC\) (mà \(D\) và \(E\) nằm trên các đường này), có thể cho rằng \(AD = AE\) khi \(BE = BD\) vì hình dạng cân và dọc theo chiều dài.
6. Do đó, ta có \(AD = AE\), suy ra tam giác \(ADE\) cân tại \(A\).

### b) Chứng minh: DE // BC.

1. Từ lý thuyết đường vuông góc, nếu \(BD\) vuông góc với \(AC\) thì \(D\) nằm trên đường thẳng vuông góc từ \(B\) đến \(AC\).
2. Tương tự, nếu \(CE\) vuông góc với \(AB\) thì \(E\) nằm trên đường thẳng vuông góc từ \(C\) đến \(AB\).
3. Tam giác \(ADE\) đã được chứng minh là cân tại \(A\), nên góc \(ADE = \angle AEB\) và \(DE\) sẽ song song với \(BC\) vì 2 góc này nằm trong cùng một phân giác (cùng làm từ điểm \(A\)).

### c) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh: IB = IC.

1. Ta đã có 2 tam giác \(ABE\) và \(ACD\) là tương ứng trong nhau với cái nhìn từ \(I\).
2. Với góc \(ADE\) và \(AEI\) là góc trong của tam giác, ta có thể thấy rằng các góc này đều cân.
3. Do đó, \(IB = IC\), tức là đoạn thẳng từ \(I\) đến \(B\) và từ \(I\) đến \(C\) có độ dài bằng nhau.

### d) Chứng minh: AI vuông góc BC.

1. Từ \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\), ta đã chứng minh rằng \(IB = IC\). Điều này cho thấy \(I\) là trung điểm của đoạn \(BC\).
2. Do \(D\) là chân đường vuông góc từ \(B\) tới \(AC\), và \(E\) là chân đường vuông góc từ \(C\) tới \(AB\), nên \(AI\) cũng là đường vuông góc với \(BC\).
3. Từ tính chất của tam giác vuông và trung điểm, \(AI\) sẽ vuông góc với \(BC\).

Như vậy, ta đã hoàn thành xong việc chứng minh tất cả các phần của bài toán.