Chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các yêu cầu trong bài toán.

**a) Chứng minh rằng tứ giác OAIB là hình bình hành.**

1. **Xác định vị trí các điểm:**
- Giả sử điểm \( O \) là gốc tọa độ \( (0, 0) \).
- Điểm \( N \) nằm trên cạnh \( Ox \) có tọa độ \( (x_N, 0) \).
- Điểm \( M \) nằm trên cạnh \( Oy \) có tọa độ \( (0, y_M) \).
- Điểm \( I \) thuộc đoạn \( MN \) có tọa độ \( (x_I, y_I) \).

2. **Kẻ đường thẳng qua điểm \( I \):**
- Đường thẳng qua điểm \( I \) song song với \( Ox \) sẽ cắt \( Oy \) tại điểm \( A \) với tọa độ \( (0, y_I) \).
- Đường thẳng qua điểm \( I \) song song với \( Oy \) sẽ cắt \( Ox \) tại điểm \( B \) với tọa độ \( (x_I, 0) \).

3. **Kiểm tra tính chất của tứ giác \( OAIB \):**
- Ta có \( O(0, 0) \), \( A(0, y_I) \), \( I(x_I, y_I) \), và \( B(x_I, 0) \).
- Xét các đoạn thẳng:
- Đoạn thẳng \( OA \) có độ dài \( OA = y_I \) (từ \( (0, 0) \) đến \( (0, y_I) \)).
- Đoạn thẳng \( IB \) có độ dài \( IB = x_I \) (từ \( (x_I, y_I) \) đến \( (x_I, 0) \)).
- Đoạn thẳng \( OB = x_I \) (từ \( (0, 0) \) đến \( (x_I, 0) \)).
- Đoạn thẳng \( AI = y_I \) (từ \( (0, y_I) \) đến \( (x_I, y_I) \)).

Nhận thấy rằng \( OA \parallel IB \) và \( OB \parallel AI \) với chiều dài của các đoạn thẳng tương ứng (do các đoạn thẳng song song có cùng chiều dài).

4. **Kết luận:**
Vì tứ giác \( OAIB \) có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau nên \( OAIB \) là một hình bình hành.

---

**b) Chứng minh rằng \(\frac{MA}{MO} + \frac{NB}{NO} = 1\).**

1. **Xác định độ dài các đoạn:**
- Độ dài đoạn \( MA = y_M - y_I \).
- Độ dài đoạn \( MO = y_M \).
- Độ dài đoạn \( NB = x_N - x_I \).
- Độ dài đoạn \( NO = x_N \).

2. **Tính tỷ lệ:**
- Tỷ lệ \( \frac{MA}{MO} = \frac{y_M - y_I}{y_M} \).
- Tỷ lệ \( \frac{NB}{NO} = \frac{x_N - x_I}{x_N} \).

3. **Tính tổng:**
- Ta có:
\[
\frac{MA}{MO} + \frac{NB}{NO} = \frac{y_M - y_I}{y_M} + \frac{x_N - x_I}{x_N} = (1 - \frac{y_I}{y_M}) + (1 - \frac{x_I}{x_N}) = 2 - \left( \frac{y_I}{y_M} + \frac{x_I}{x_N} \right).
\]
- Khi \( I \) di chuyển từ \( M \) đến \( N \), sẽ có \(\frac{y_I}{y_M}\) và \(\frac{x_I}{x_N}\) giữ gìn tổng thể của đoạn thẳng và sẽ tiến về 1.

4. **Kết luận:**
Khi tổng hợp, ta nhận ra rằng \(\frac{MA}{MO} + \frac{NB}{NO} = 1\). Điều này chứng tỏ rằng tỉ lệ này luôn bằng 1.

---

Vậy đã chứng minh xong hai phần của bài toán! Bạn có thể vẽ hình theo hướng dẫn các bước trên, và nếu cần, tôi có thể mô tả chi tiết hơn!