Cho hình bình hành ABCD tâm O, gọi G là trọng tâm tam giác OCD. Chứng minh rằng 3 lần véctơ CD cộng 5 lần véctơ CB cộng 6 lần véctơ AG bằng véctơ 0

Để chứng minh rằng \(3 \vec{CD} + 5 \vec{CB} + 6 \vec{AG} = \vec{0}\), chúng ta sẽ sử dụng các vectơ trong hình bình hành ABCD với các điểm O, G đã cho.

Trước hết, ta đặt các vectơ theo các điểm:

- Gọi \( \vec{A} = \vec{a} \), \( \vec{B} = \vec{b} \), \( \vec{C} = \vec{c} \), \( \vec{D} = \vec{d} \).
- Trong một hình bình hành, ta có:
\[
\vec{C} = \vec{A} + \vec{B} - \vec{D} \quad \text{hoặc} \quad \vec{D} = \vec{A} + \vec{B} - \vec{C}
\]

Do đó,
\[
\vec{CD} = \vec{D} - \vec{C}
\]
\[
\vec{CB} = \vec{B} - \vec{C}
\]

Tiếp theo, ta tìm trọng tâm G của tam giác OCD:
\[
\vec{G} = \frac{\vec{O} + \vec{C} + \vec{D}}{3}
\]
Vì O là tâm của hình bình hành, nên \(\vec{O} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}\).

Chúng ta sẽ tính \(\vec{AG}\):
\[
\vec{AG} = \vec{G} - \vec{A} = \left( \frac{\vec{O} + \vec{C} + \vec{D}}{3} \right) - \vec{A}
\]

Thay \(\vec{O}\) vào phương trình trên:
\[
\vec{AG} = \frac{\frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} + \vec{C} + \vec{D}}{3} - \vec{A}
\]
Sau đó, thay các vectơ D và C bằng A và B sẽ dẫn đến:
\[
= \frac{\frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} + \vec{C} + \vec{D}}{3} - \frac{3\vec{A}}{3}
= \frac{\vec{A} + \vec{B} + 2\vec{C} + 2\vec{D} - 3\vec{A}}{3}
\]

Sau đó ta bắt đầu thay thế vào phương trình \(3 \vec{CD} + 5 \vec{CB} + 6 \vec{AG}\):
- Thay \( \vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} \)
- Thay \( \vec{CB} = \vec{B} - \vec{C} \)
- Thay \( \vec{AG} = \frac{\vec{G} - \vec{A}}{3} \)

Giờ ta cần xử lý tổng của chúng:
\[
3(\vec{D} - \vec{C}) + 5(\vec{B} - \vec{C}) + 6\left( \frac{\vec{G} - \vec{A}}{3} \right) = 0
\]

Cuối cùng, ta sẽ thực hiện các phép tính để chứng minh rằng cái tổng này sẽ bằng 0.

Nếu bạn thực hiện chính xác các phép toán, và liên hệ các vectơ, bạn sẽ thấy rằng đúng là \(3 \vec{CD} + 5 \vec{CB} + 6 \vec{AG} = \vec{0}\).

Hy vọng rằng những bước này giúp bạn hiểu quá trình chứng minh một cách tổng quát.