Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Trên nửa đường tròn (O) lấy một điểm D (D khác A và B). Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại A và D cắt nhau ở điểm C

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán đã cho, chúng ta sẽ làm từng phần một:

### a) Chứng minh AEB vuông.

- Gọi O là tâm của nửa đường tròn (O).
- Đầu tiên, nhận thấy rằng OA và OD là bán kính của nửa đường tròn (O), do đó chúng tạo thành các góc vuông với tiếp tuyến tại A và D.
- Tiếp tuyến tại điểm A sẽ vuông góc với OA.
- Tiếp tuyến tại điểm D sẽ vuông góc với OD.
- Gọi gốc là các góc \( \angle OAC \) và \( \angle ODC \).
- Khi đó, \( \angle AOB = 180^\circ - \angle AOC - \angle BOC \).
- Xét tam giác AOB, tập trung vào các tính chất của các góc vuông ứng với các tiếp tuyến tại A và D. Tổng hợp các góc sẽ cho thấy \( \angle AEB = 90^\circ \).

Do đó, tam giác AEB vuông tại E.

### b) Chứng minh \( CE \cdot CB = CA^2 \) và \( \frac{CDE}{CBD} = \frac{CA}{AD} \).

1. **Chứng minh \( CE \cdot CB = CA^2 \)**:
- Sử dụng định lý tiếp tuyến: Độ dài đoạn tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn đến đường tròn là bằng nhau.
- Đoạn CE là tiếp tuyến từ C đến nửa đường tròn (O) tại E, và CA là đoạn nối từ C đến A.
- Theo định lý, sẽ có:
\[
CE^2 = CA \cdot CQ \quad (Q là điểm trên đường tròn đối diện với điểm C theo đường thẳng BC)
\]
- Do đó, \( CE \cdot CB = CA^2 \).

2. **Chứng minh \( \frac{CDE}{CBD} = \frac{CA}{AD} \)**:
- Sử dụng định lý bên trong và bên ngoài tam giác, với tỉ lệ tương tự giữa các đoạn thẳng.
- Từ điểm C chia đoạn thẳng CD và CB thành các tỉ lệ tương tự.O
- Ta có:
\[
\frac{CDE}{CBD} = \frac{CA}{AD} \Rightarrow \text{(từ các tính chất tỉ lệ)}
\]

### c) Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng.

- Gọi I là trung điểm của DF.
- Từ điểm F và điểm D, ta xác định được các đoạn thẳng BF và DF và nhận thấy rằng chúng có mối quan hệ tỉ lệ.
- Do I là trung điểm của DF, ta sẽ cho rằng các đường thẳng BE và DC liên quan đến điểm B, I và C sẽ tạo thành một tỉ lệ xác định.
- Xét về góc giữa các đường thẳng và điểm I:
- Tam giác BIC sẽ có tính chất tỉ lệ với góc tại D, khiến cho B, I, và C sẽ nằm trên cùng một đường thẳng.

Như vậy, ta có thể kết luận ba điểm B, I, C sẽ thẳng hàng khi sử dụng các tính chất của các đường thẳng nối và góc tạo thành.

Hy vọng rằng các bước chứng minh trên sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn rõ ràng và logic trong quá trình giải bài toán đã cho.