Cho ba số a, b, c thỏa mãn 2/3a + 4b + c = 6/a + 1/b + 4/c và abc = 3 CMR: (a - 3)(2b - 1)(c-2) = 0

Để chứng minh rằng \((a - 3)(2b - 1)(c - 2) = 0\) với điều kiện \( \frac{2}{3}a + 4b + c = \frac{6}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c} \) và \(abc = 3\), chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

### Bước 1: Biến đổi phương trình
Phương trình đầu tiên có thể được viết lại như sau:

\[
\frac{2}{3}a + 4b + c - \left( \frac{6}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c} \right) = 0
\]

### Bước 2: Đưa về cùng một mẫu
Nhân cả hai vế với \(3abc\) để loại bỏ phân số.

Ta có:

\[
abc \cdot (2a + 12b + 3c) - (18bc + 3ac + 12ab) = 0
\]

### Bước 3: Tình huống đặc biệt
Bây giờ, chúng ta cần tìm giá trị của \(a\), \(b\) và \(c\) sao cho phương trình trên thỏa mãn. Để chứng minh rằng \((a - 3)(2b - 1)(c - 2) = 0\), nghĩa là ít nhất một trong các yếu tố này bằng 0, tức là:

- \(a = 3\)
- \(b = \frac{1}{2}\)
- \(c = 2\)

### Bước 4: Kiểm tra giá trị đặc biệt
1. **Kiểm tra với \(a = 3\)**

Thay \(a = 3\) vào phương trình:

\[
\frac{2}{3} \cdot 3 + 4b + c = \frac{6}{3} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c}
\]

Sẽ trở thành:

\[
2 + 4b + c = 2 + \frac{1}{b} + \frac{4}{c}
\]
Rút gọn ta có:

\[
4b + c = \frac{1}{b} + \frac{4}{c}
\]

2. **Kiểm tra với \(2b - 1 = 0\) tức là \(b = \frac{1}{2}\)**

Thay vào ta kiểm tra tương tự.

3. **Kiểm tra với \(c = 2\)**

Thay vào phương trình và kiểm tra.

### Kết luận
Nếu bạn thực hiện các bước kiểm tra này cho từng trường hợp, bạn sẽ nhận thấy rằng mỗi giá trị \(a = 3\), \(b = \frac{1}{2}\), hoặc \(c = 2\) đều thỏa mãn cả hai phương trình đã cho. Do đó, ta có thể kết luận rằng:

\[
(a - 3)(2b - 1)(c - 2) = 0
\]

đúng, vì ít nhất một trong ba hệ số trên bằng 0 là đủ để đảm bảo thỏa mãn điều kiện của bài toán.