Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH. Gọi E; F lần lượt là các hình chiếu của điểm H trên AB và AC.1)chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật 2)gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt FM ở D. Chứng minh tứ giác BDCF là hình bình hành

1) **Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật:**

- Từ định nghĩa tứ giác AEHF, chúng ta xét các điểm:
- H là chân đường cao từ A xuống BC,
- E là hình chiếu của H trên AB,
- F là hình chiếu của H trên AC.

- Vì H là chân đường cao từ A xuống BC, nên AH vuông góc với BC (từ định nghĩa của đường cao).

- Do đó, ta có:
- HE ⊥ AB (vì E là hình chiếu của H trên AB)
- HF ⊥ AC (vì F là hình chiếu của H trên AC)

- Tại điểm H, ta có hai góc:
- ∠EHA = 90° (vì HE ⊥ AB)
- ∠FHA = 90° (vì HF ⊥ AC)

- Từ đó, ta có 4 góc của tứ giác AEHF đều bằng 90°:
- ∠EHA = 90°
- ∠AHE = 90°
- ∠AFH = 90°
- ∠HFA = 90°

- Tứ giác có 4 góc vuông nên AEHF là hình chữ nhật.

2) **Chứng minh tứ giác BDCF là hình bình hành:**

- Gọi M là trung điểm của BC, từ đó có BM = MC.

- Xét đường thẳng qua B vuông góc với AB, cắt FM tại D. Bởi vì BD vuông góc với AB, ta có:
- ⟹ BD ⊥ AB

- Xét tam giác BMF (trong đó M là trung điểm của BC):
- Vì M là trung điểm nên BM = MC.

- Từ đó, do D nằm trên FM (hệ quả từ việc D cắt FM), và do BD ⊥ AB, suy ra BD có thể xem như là một đường thẳng dẫn tới việc chia đôi đoạn thẳng FC.

- Bây giờ, để chứng minh BDCF là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau:
- Cạnh BD và CF.
- Cạnh BC và DF.

- Vì B, C, F đều nằm trên đường thẳng FM, và M là trung điểm của BC, nên ta có:
- BM = MC.
- D nằm trên FM, nên DF = BF.

- Như vậy, ta có thể viết thành các cặp cạnh bằng nhau:
- BD = CF
- BC = DF.

Do đó, theo định nghĩa, tứ giác BDCF là một hình bình hành.