Để giải phương trình \( 2xy + x + 2y = 13 \) với \( x \) và \( y \) là các số tự nhiên, ta có thể bắt đầu bằng cách biến đổi nó thành một dạng khác.

Đầu tiên, chúng ta có thể viết lại phương trình như sau:

\[
2xy + x + 2y - 13 = 0
\]

Để tìm các giá trị của \( x \) và \( y \), ta có thể thử giá trị cụ thể cho \( x \) và \( y \).

### Bước 1: Xét giá trị của x

1. Nếu \( x = 0 \):
\[
2(0)y + 0 + 2y = 13 \Rightarrow 2y = 13 \Rightarrow y = 6.5 \quad \text{(không phải số tự nhiên)}
\]

2. Nếu \( x = 1 \):
\[
2(1)y + 1 + 2y = 13 \Rightarrow 2y + 1 + 2y = 13 \Rightarrow 4y + 1 = 13 \Rightarrow 4y = 12 \Rightarrow y = 3
\]
Ta có một cặp: \( (1, 3) \).

3. Nếu \( x = 2 \):
\[
2(2)y + 2 + 2y = 13 \Rightarrow 4y + 2 + 2y = 13 \Rightarrow 6y + 2 = 13 \Rightarrow 6y = 11 \Rightarrow y \text{ không phải số tự nhiên.}
\]

4. Nếu \( x = 3 \):
\[
2(3)y + 3 + 2y = 13 \Rightarrow 6y + 3 + 2y = 13 \Rightarrow 8y + 3 = 13 \Rightarrow 8y = 10 \Rightarrow y \text{ không phải số tự nhiên.}
\]

5. Nếu \( x = 4 \):
\[
2(4)y + 4 + 2y = 13 \Rightarrow 8y + 4 + 2y = 13 \Rightarrow 10y + 4 = 13 \Rightarrow 10y = 9 \Rightarrow y \text{ không phải số tự nhiên.}
\]

6. Nếu \( x = 5 \):
\[
2(5)y + 5 + 2y = 13 \Rightarrow 10y + 5 + 2y = 13 \Rightarrow 12y + 5 = 13 \Rightarrow 12y = 8 \Rightarrow y \text{ không phải số tự nhiên.}
\]

7. Nếu \( x = 6 \):
\[
2(6)y + 6 + 2y = 13 \Rightarrow 12y + 6 + 2y = 13 \Rightarrow 14y + 6 = 13 \Rightarrow 14y = 7 \Rightarrow y \text{ không phải số tự nhiên.}
\]

### Bước 2: Tóm lược
Sau khi thử qua tất cả các giá trị hợp lệ, ta nhận thấy chỉ có cặp duy nhất \( (x, y) = (1, 3) \) là thỏa mãn phương trình.

### Kết luận
Các số tự nhiên \( x, y \) là \( (1, 3) \).