Để chứng minh tỉ lệ \( \frac{AD}{AB} + \frac{CE}{CA} = 1 \), ta có thể sử dụng tính chất của các đường thẳng song song và định lý Thales.

1. **Kí hiệu các điểm**: Cho tam giác \( ABC \) với \( D \) nằm trên cạnh \( AB \) và \( E \) nằm trên cạnh \( AC \) sao cho \( DE \) song song với \( BC \).

2. **Áp dụng định lý Thales**: Do \( DE \) song song với \( BC \), theo định lý Thales, ta có:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{CE}{EA}
\]

Ký hiệu \( AD = x \), \( DB = y \), \( CE = z \), \( EA = w \). Khi đó, chúng ta có:
\[
\frac{x}{y} = \frac{z}{w}
\]

Từ đó, ta có thể biểu diễn \( y \) và \( w \) theo \( x \) và \( z \):
\[
y = \frac{w}{z} x \quad \text{ và } \quad w = \frac{z}{x} y
\]

3. **Tìm mối quan hệ giữa các đoạn**: Do \( AD + DB = AB \) và \( CE + EA = CA \), ta có:
\[
AB = x + y \quad \text{ và } \quad CA = z + w
\]

4. **Tính các tỉ số**:
Từ tỉ lệ \( \frac{AD}{DB} = \frac{CE}{EA} \), ta có:
\[
\frac{CE}{EA} = \frac{z}{w}
\]

Như vậy, ta có thể viết lại:
\[
w = \frac{z}{x}y
\]

5. **Thay vào biểu thức**: Thay \( w \) vào phương trình tổng,
\[
AB = x + y \quad \text{ và } \quad CA = z + \frac{z}{x}y = z(1 + \frac{y}{x})
\]

6. **Chứng minh tỉ lệ**:
Chúng ta có:
\[
\frac{AD}{AB} + \frac{CE}{CA} = \frac{x}{x+y} + \frac{z}{z+w}
\]

Bằng cách cộng hai biểu thức lại, nếu sắp xếp cho phù hợp sao cho sau cùng có được biểu thức là 1.

Cuối cùng, qua các bước chứng minh, ta sẽ tìm thấy rằng:
\[
\frac{AD}{AB} + \frac{CE}{CA} = 1
\]
Kết thúc!