Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) Rút gọn biểu thức **P**:

Biểu thức P được cho là:

\[
P = \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}} - \frac{x}{x-4}
\]

Để rút gọn, ta cần tìm một mẫu số chung cho cả hai phân số.

Mẫu số chung sẽ là \(\sqrt{x+2}(x-4)\).

1. **Biến đổi từng phần**:
- Phần đầu tiên:
\[
\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}} = \frac{\sqrt{x-2} \cdot (x-4)}{\sqrt{x+2} \cdot (x-4)} = \frac{(x-4)\sqrt{x-2}}{(x-4)\sqrt{x+2}}
\]
- Phần thứ hai:
\[
\frac{x}{x-4} = \frac{x \cdot \sqrt{x+2}}{(x-4)\sqrt{x+2}}
\]

2. **Gộp lại**:
Bây giờ, bạn có thể gộp thành:
\[
P = \frac{(x-4)\sqrt{x-2} - x\sqrt{x+2}}{(x-4)\sqrt{x+2}}
\]

### b) Tìm các giá trị nguyên của **x** để **P** là một số nguyên:

Ta cần điều kiện cho biểu thức này là số nguyên.

1. **Điều kiện xác định**:
- \(\sqrt{x-2}\) phải xác định: \(x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\)
- \(\sqrt{x+2}\) phải xác định: \(x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2\) (đã thỏa mãn)
- \(x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4\)

2. **Xét các giá trị nguyên** trong khoảng \(x \geq 2\) và \(x \neq 4\):
- Các giá trị là \(2, 3, 5, 6, \ldots\)

3. **Thử các giá trị**:
- **Với \(x = 2\)**:
\[
P = \frac{\sqrt{2-2}}{\sqrt{2+2}} - \frac{2}{2-4} = 0 + 1 = 1 \quad \text{(đúng)}
\]
- **Với \(x = 3\)**:
\[
P = \frac{\sqrt{3-2}}{\sqrt{3+2}} - \frac{3}{3-4} = \frac{1}{\sqrt{5}} + 3 \quad \text{(không nguyên)}
\]
- **Với \(x = 5\)**:
\[
P = \frac{\sqrt{5-2}}{\sqrt{5+2}} - \frac{5}{5-4} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} - 5 \quad \text{(không nguyên)}
\]
- **Với \(x = 6\)**:
\[
P = \frac{\sqrt{6-2}}{\sqrt{6+2}} - \frac{6}{6-4} = \frac{2}{\sqrt{8}} - 3 = \frac{1}{\sqrt{2}} - 3 \quad \text{(không nguyên)}
\]

Tóm lại, giá trị nguyên duy nhất khiến **P** là một số nguyên là \(x = 2\).

Nếu bạn cần thêm không gian làm việc cụ thể hơn hay các bước giải chi tiết, hãy cho tôi biết!