Để chứng minh các điểm trong bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện hai yêu cầu đã cho.

**1. Chứng minh ABMA = ABME:**

Để chứng minh hai tam giác này bằng nhau, chúng ta sẽ chứng minh rằng chúng có đầy đủ các cạnh và góc tương ứng.

- **Cạnh AB:** Cạnh này là một cạnh chung của cả hai tam giác.

- **Cạnh AM:** M (trung điểm của AE) nên \( AM = ME \). Do đó, cạnh này cũng bằng nhau.

- **Cạnh BM:** Không cần chứng minh bởi vì đó là cạnh chung của cả hai tam giác.

- **Góc A:** Hai tam giác ABM và AEM đều chứa góc A, do đó góc này cũng bằng nhau.

Kết luận: Vì hai tam giác này có hai cặp cạnh bằng nhau (AB = AB và AM = ME) và góc A chung, theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCC), nên \( \triangle ABM \cong \triangle AEM \).

Do đó, \( S_{ABM} = S_{AEM} \), hay nói cách khác \( ABMA = ABME \).

---

**2. Chứng minh KB là tia phân giác của góc AKE:**

Để chứng minh rằng tia KB là tia phân giác của góc AKE, chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{AK}{KE} = \frac{AB}{BE}
\]

Từ điều kiện cho trước, ta có:

- Dựa vào tính chất trung điểm, \( M \) là trung điểm của cạnh \( AE \) nên \( AM = ME \).

Sử dụng tính chất của tam giác vuông tại \( A \):

- Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \), ta có \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \) do đó từ tỉ số và định lý Pitago.

Thay vào đó, tỉ số cạnh được tạo ra từ hai tam giác:

- Trong tam giác \( \triangle AKE \) và \( \triangle BKE \), ta sử dụng định nghĩa phân giác: Khi \( KB \) cắt \( AE \) tại \( K \) thì:
\[
\frac{AK}{KE} = \frac{AB}{BE}
\]

Bởi vì chúng ta có \( BE = AB \) từ điều kiện đề bài, do đó:

\[
\frac{AK}{KE} = 1
\]

Vì vậy, \( KB \) chính là tia phân giác của góc AKE.

Kết luận: Vậy \( KB \) là tia phân giác của góc \( AKE \).

---

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh đủ hai yêu cầu trong bài toán.