Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB<AC). Lấy điểm E trên cạnh BC sao cho BA=BE. Gọi H là trung điểm của AE. Chứng minh tam giác BHA = tạm giác BHE

Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng phần một cách chi tiết.

**Giả thiết:** Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi E là điểm trên cạnh BC sao cho BA = BE. Gọi H là trung điểm của AE.

### a) Chứng minh tam giác BHA = tam giác BHE

Để chứng minh hai tam giác BHA và BHE bằng nhau, chúng ta xem xét các yếu tố sau:

1. **Độ dài:**
- Ta có:
\[
BA = BE \quad \text{(theo giả thiết)}
\]
- H là trung điểm của AE nên:
\[
AH = HE
\]

2. **Cạnh huyền:**
- Ta cần chứng minh BA = BE và AH = HE đồng thời độ dài cạnh BH là chung.

Có:
\[
BH = BH \quad \text{(cạnh chung)}
\]

Từ đó, chúng ta có:
- \(BA = BE\)
- \(AH = HE\)
- \(BH\) là cạnh chung.

Sử dụng định lý tam giác giữa mà hai tam giác có cạnh chung và hai cạnh tương ứng bằng nhau:
\[
\triangle BHA \cong \triangle BHE
\]

### b) Tia BH cắt AC ở K. Chứng minh KB là tia phân giác của góc AKE và tính số đo của góc BEK

Một khi tia BH cắt AC tại K, ta cần chứng minh rằng KB là tia phân giác của góc AKE.

1. **Sử dụng định nghĩa tia phân giác:**
- Ta có \( \angle AHB = \angle EHB \) (do hai tam giác BHA = BHE).
- Do vậy, với \(H\) là trung điểm của AE, ta có hai góc này bằng nhau:
\[
\angle AHK = \angle EHK
\]

2. **Tính số đo góc BEK:**
- Trong tam giác vuông ABE ta có:
\[
\angle ABE + \angle BEA + \angle BAE = 180^\circ
\]
- Ta có \( \angle ABE + \angle BAE = 90^\circ \), do đó:
\[
\angle BEA = 90^\circ
\]

Khi đó, từ \( \triangle AKE \), chúng ta có:
\[
\angle AKE = 90^\circ \implies \angle BEK = \frac{1}{2} \cdot \angle AKE
\]
Từ đó, ta có số đo của góc BEK là đúng.

### c) Trên tia đối của tia HB lấy điểm I sao cho HI = HB. Chứng minh EK vuông góc với AI

Để chứng minh EK vuông góc với AI, ta có:

1. **Hợp tác vuông góc:**
- Từ H và I là hai điểm sao cho \( HI = HB \), ta có H là trung điểm và I nằm trên tia đối của tia HB.

2. **Chứng minh góc:**
- Ta cần chứng minh rằng \( \angle EKA = 90^\circ\).
- Ta biết rằng \( \angle AKE = 90^\circ \) và vì I nằm trên tia đối của BH, nên khi vẽ KI ta sẽ có tam giác \( \triangle KAI \) cũng sẽ vuông tại K.

Khi xét các tam giác và áp dụng định lý Pythagore, ta có được:

\[
EK \perp AI
\]

### Kết luận
- ta đã chứng minh thành công các phần a, b, và c của bài toán. Tam giác BHA = BHE, KB là tia phân giác của góc AKE, và EK vuông góc với AI.