Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất hình học của tam giác vuông, tứ giác và các vectơ.

### a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật

1. **Xác định các điểm:**
- Gọi A, B, C là các điểm của tam giác vuông tại A.
- M là trung điểm của BC, nghĩa là \(BM = MC\).
- D là điểm nằm trên tia đối của tia MA sao cho \(MD = MA\).

2. **Chứng minh \(AB \perp AD\) và \(BC \perp AD\) đều đúng:**
- Do tam giác ABC vuông tại A, ta có \(AB \perp AC\).
- M là trung điểm của BC, suy ra \(AM\) là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, \(AM \parallel BC\).
- Đường thẳng MA nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng AC và đường thẳng BC. Vì D nằm trên tia đối của MA, suy ra \(AD \perp AB\).

3. **Chứng minh \(AD = AB\) và \(BC = AD\):**
- Vì MD = MA, và D nằm trên tia đối của MA, ta có \(AD = MD = MA\).
- Tứ giác ABD là hình chữ nhật, vì hai cạnh \(AD\) và \(AB\) vuông góc và bằng nhau.

4. **Kết luận:**
- Tứ giác ABDC có sáu đặc điểm là: \(AB \parallel DC\), \(AB \perp AD\), \(AD = AB\), \(BC = AD\). Như vậy, tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác ADCE là hình bình hành

1. **Xác định E:**
- E là điểm trên tia đối của tia AB sao cho \(AE = AB\), có nghĩa là AE song song với BC.

2. **Chứng minh AD = CE:**
- Từ lần phân tích trên, ta đã biết rằng \(AD = MD\). Do cũng như đã chứng minh \(MA = MD\).
- Vì E cũng nằm trên đường thẳng AB kéo dài, và AE song song với BC, suy ra \(CE = AB\).

3. **Chứng minh AD // CE:**
- Do \(DA\) vuông góc với \(AB\) và \(CE\) cũng vuông góc với \(AB\), ta có \(AD \perp AE\). Do đó, hai cặp cạnh này là song song.

4. **Kết luận:**
- Tứ giác ADCE có 2 cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, do đó ADCE là hình bình hành.

### Tổng kết:
Qua các bước chứng minh trên, chúng ta đã chứng minh rằng tứ giác ABDC là hình chữ nhật và tứ giác ADCE là hình bình hành.