Cho tam giác \( ABC \) với \( AB = AC \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \).

### a. Tam giác ABC là tam giác nào? Vì sao?
Tam giác \( ABC \) là tam giác cân vì có hai cạnh \( AB \) và \( AC \) bằng nhau, tức là \( AB = AC \).

### b. Chứng minh tam giác ABM = tam giác ACM
Để chứng minh \( \triangle ABM \cong \triangle ACM \), ta sử dụng tiêu chuẩn \( \text{cạnh - cạnh - cạnh} \) (CCC):
- \( AB = AC \) (theo giả thiết).
- \( BM = CM \) (vì \( M \) là trung điểm của \( BC \)).
- \( AM = AM \) (đoạn chung của hai tam giác).

Vậy theo tiêu chuẩn CCC, ta có \( \triangle ABM \cong \triangle ACM \).

### c. Chứng minh \( ME = MF \)
Vì \( ME \) vuông góc với \( AB \) và \( MF \) vuông góc với \( AC \), ta sẽ sử dụng tính chất đối xứng trong tam giác cân.

Ta đã chứng minh rằng \( \triangle ABM \cong \triangle ACM \). Do đó, các cạnh tương ứng và chiều cao từ \( M \) đến \( AB \) và \( AC \) cũng sẽ bằng nhau. Vì \( E \) trên \( AB \) và \( F \) trên \( AC \) tương ứng với chiều cao từ \( M \) xuống \( AB \) và \( AC \), chúng sẽ bằng nhau.

=> \( ME = MF \).

### d. Chứng minh \( EF \parallel BC \)
Từ \( M \) là trung điểm của \( BC \) và đã chứng minh \( ME = MF \), ta có thể sử dụng định lý về các đường thẳng song song.

Trong tam giác cân \( ABM \) và \( ACM \), và với \( ME \) và \( MF \) đều là chiều cao từ \( M \) xuống \( AB \) và \( AC \), do đó, góc \( MEB \) và góc \( MFC \) đều bằng 90 độ.

Nhìn vào hai tam giác vuông \( MEB \) và \( MFC \):
- Nếu \( ME = MF \) và \( \angle MEB = \angle MFC = 90^\circ \) thì theo định nghĩa về đường thẳng song song (có cùng góc và cùng chiều dài), ta có \( EF \parallel BC \).

Do vậy, \( EF \) và \( BC \) song song với nhau.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh các phần của bài toán theo yêu cầu đưa ra.