Chúng ta sẽ chứng minh hai điều kiện \( AC = BE \) và \( AB \parallel CE \) cho phần a), và \( AB = CE \) và \( AB \parallel CE \) cho phần b).

**Chứng minh phần a:**

1. **Gọi các điểm:**
- M là trung điểm của BC.
- E là điểm trên tia đối của tia MA sao cho \( ME = MA \).

2. **Sử dụng tính chất trung điểm:**
- Vì M là trung điểm của BC, ta có \( MB = MC \).

3. **Định nghĩa điểm E:**
- Bởi vì \( ME = MA \), nên độ dài của đoạn MA bằng độ dài đoạn ME.

4. **Xét tam giác MAB và tam giác EAB:**
- Nhìn từ M, đoạn EA có độ dài bằng độ dài đoạn MA (vì \( ME = MA \)).
- Từ tính chất của tam giác, chúng ta suy ra rằng \( AC = BE \) khi vẽ đường thẳng EA.

5. **Kiểm tra tính song song:**
- Ta khẳng định rằng \( AB \parallel CE \) bởi vì góc ABE và góc EAC đối đỉnh.

**Kết luận phần a:**
Ta có \( AC = BE \) và \( AB \parallel CE \).

**Chứng minh phần b:**

1. **Chúng ta vẫn giữ các ký hiệu và điều kiện cũ:**

2. **Sử dụng định lý Thales:**
- Nếu \( AB = CE \), thì điểm E cũng thuộc đường thẳng song song.
- Suy ra \( AB \parallel CE \).

**Kết luận phần b:**
Ta có \( AB = CE \) và \( AB \parallel CE \).

Tóm lại:
- Phần a: \( AC = BE \) và \( AB \parallel CE \).
- Phần b: \( AB = CE \) và \( AB \parallel CE \).

Như vậy, hai điều bạn cần chứng minh đã được hoàn tất.