Để chứng minh các kết luận trong bài toán, chúng ta sẽ lần lượt xử lý từng phần.

### a) Chứng minh tam giác ABM = tam giác CME

Ta có các thông tin sau:
- M là trung điểm của BC, do đó \( BM = MC \).
- ME = MA (giả thiết).

Chúng ta cần chứng minh rằng tam giác ABM đồng dạng với tam giác CME.

1. Xét hai tam giác ABM và CME:
- \( BM = MC \) (vì M là trung điểm của BC).
- ME = MA (theo giả thiết).
- Góc \( \angle ABM = \angle CME \) (do chúng là các góc đối đỉnh).

Vì vậy, theo tiêu chuẩn của tam giác đồng dạng (cạnh-cạnh-cạnh), ta có:

\[
\frac{AB}{CE} = \frac{BM}{MC} = 1
\]

Điều này có nghĩa là \( AB = CE \).

Do đó, tam giác ABM đồng dạng với tam giác CME.

### b) Chứng minh AB // CE

Từ phần a), do tam giác ABM và tam giác CME đồng dạng, ta có:

\[
\angle ABM = \angle CME
\]

Vì \( ME = MA \), ta cũng có \( \angle MAB = \angle MCE \) (góc đối đỉnh).

Do đó:

\[
\angle ABM + \angle MAB + \angle AMB = 180^\circ
\]

Và tương tự cho tam giác CME:

\[
\angle CME + \angle MCE + \angle CEM = 180^\circ
\]

Nếu \( \angle ABM = \angle CME \) và \( \angle MAB = \angle MCE \), suy ra \( \angle AMB + \angle CEM = 180^\circ \).

Điều này cho thấy AB // CE.

### c) Chứng minh C là trung điểm của FE

Ta có:
- N là trung điểm của AC.
- NF = NB (cho điểm F).

Do N là trung điểm, ta có:

\[ AN = NC \]

Vì NF = NB, suy ra:

\[ NF = \frac{AN + NC}{2} = \frac{c}{2} \]

Vì vậy ta có:

\[ FE = FN + NE \rightarrow NE = NC = AN \]

Vậy C là trung điểm của FE.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được các kết luận c, b, a như yêu cầu.