Chứng minh A, M, N, C thẳng hàng. Chứng minh trọng tâm ΔABC trùng với trọng tâm ΔMNB

Để giải bài toán này, ta thực hiện như sau:

### A) Chứng minh A, M, N, C thẳng hàng.

1. **Tính độ dốc của các đoạn thẳng**:
- Đoạn thẳng AM:
\[
d_{AM} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 1}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2
\]
- Đoạn thẳng MN:
\[
d_{MN} = \frac{5 - 3}{3 - 2} = \frac{2}{1} = 2
\]
- Đoạn thẳng CN:
\[
d_{CN} = \frac{5 - 7}{3 - 4} = \frac{-2}{-1} = 2
\]

2. **So sánh độ dốc**:
- Ta có \( d_{AM} = d_{MN} = d_{CN} = 2 \).
- Vì các đoạn thẳng AM, MN và CN có cùng độ dốc, suy ra A, M, N, C thẳng hàng.

### B) Chứng minh trọng tâm ΔABC trùng với trọng tâm ΔMNB.

1. **Tính trọng tâm của ΔABC**:
- Trọng tâm \( G_{ABC} \) có tọa độ:
\[
G_{ABC} = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) = \left( \frac{1 + 7 + 4}{3}, \frac{1 + 3 + 7}{3} \right) = \left( \frac{12}{3}, \frac{11}{3} \right) = (4, \frac{11}{3})
\]

2. **Tính trọng tâm của ΔMNB**:
- Trọng tâm \( G_{MNB} \) có tọa độ:
\[
G_{MNB} = \left( \frac{x_M + x_N + x_B}{3}, \frac{y_M + y_N + y_B}{3} \right) = \left( \frac{2 + 3 + 7}{3}, \frac{3 + 5 + 3}{3} \right) = \left( \frac{12}{3}, \frac{11}{3} \right) = (4, \frac{11}{3})
\]

3. **Kết luận**:
- Vì \( G_{ABC} = G_{MNB} = (4, \frac{11}{3}) \), nên trọng tâm ΔABC trùng với trọng tâm ΔMNB.

### Kết luận chung:
A, M, N, C thẳng hàng và trọng tâm ΔABC trùng với trọng tâm ΔMNB.