Cho tam giác vuông ABC tại A, với đường cao AH. Ta có các điểm I, K, D, và E được xác định như trong đề bài. Ta sẽ chứng minh các phần yêu cầu như sau:

### a) Chứng minh A là trung điểm DE
Ta biết rằng HI vuông góc với AB tại I nên HI là đường cao từ I xuống AB. Tương tự, HK vuông góc với AC tại K nên HK là đường cao từ K xuống AC.

Từ định nghĩa của đường cao, điểm H là điểm trên cạnh BC (hình chiếu của A xuống BC).

Vì DI = IH và EK = KH (theo định nghĩa trong đề bài), ta có thể xem độ dài DE như sau:
- DE = DI + EK

Với DI = IH (ở trong tam giác vuông IAH), DI là nửa độ dài của đoạn DE do đó điểm A chia đoạn DE thành hai phần bằng nhau, tức là A là trung điểm của DE.

### b) Tứ giác AIHK là hình chữ nhật
Trong tứ giác AIHK, ta có các cạnh:
- AI ⊥ HI (do HI vuông góc với AB và A nằm trên HI)
- AK ⊥ HK (do HK vuông góc với AC và A nằm trên HK).

Do đó, AI và AK là hai cạnh vuông góc với đường chéo HK.

Thêm vào đó, HI = DK and HK = AI (tương ứng từ điều kiện trong đề bài).

Vì vậy, A là điểm giao nhau của hai đường diagonals AI và HK, và tứ giác AIHK sẽ có bốn góc vuông và chiều dài các cạnh bằng nhau, điều này chứng tỏ rằng tứ giác AIHK là hình chữ nhật.

### c) Chứng minh BC = BD + CE
Để chứng minh điều này, ta sử dụng nguyên lý về các đoạn thẳng.

- Ta có thể thấy rằng BD nằm trên đoạn BC và CE nằm trên đoạn AC và do đó, bằng nguyên lý đại số của độ dài đoạn thẳng:
\[
BC = BD + DE = BD + CE
\]
Điều này xảy ra do A là trung điểm của DE khi kết hợp với khoảng cách dựng ra từ các điểm D và E.

Tóm lại:
- A là trung điểm của DE,
- Tứ giác AIHK là hình chữ nhật,
- Và BC = BD + CE.

Bạn có thể sử dụng những chứng minh này để làm rõ hơn vấn đề trong tam giác vuông ABC.