Cho hình thang ABCD (AB//CD), M là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của AC và BM, F là giao điểm của BD và AM. Đường thẳng EF cắt BC và AD lần lượt tại G và H

Để chứng minh các đẳng thức và hệ quả trong hình thang ABCD, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước chứng minh theo yêu cầu.

### a) Chứng minh rằng \(\frac{EA}{EC} = \frac{2AB}{CD}\)

1. Xét tam giác \(ACD\) và \(BAM\).
2. Vì \(M\) là trung điểm của \(CD\), ta có \(CM = MD = \frac{CD}{2}\).
3. Sử dụng tỉ lệ đồng dạng giữa tam giác \(ABE\) và tam giác \(CDE\), ta có:
\[
\frac{EA}{EC} = \frac{AB}{CD/2} = \frac{AB \cdot 2}{CD}
\]

### b) Chứng minh rằng \(EF \parallel CD\)

1. Xét hai tứ giác \(ABEM\) và \(CDEF\).
2. Vì \(M\) là trung điểm của \(CD\) và \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BM\), ta có các góc tương ứng.
3. Theo tiêu chuẩn chứng minh tứ giác đều, \(EF\) sẽ song song với \(CD\).

### c) Chứng minh rằng \(GE = EF = FH\)

1. Xét tam giác \(EGF\) và \(HF\), biết rằng \(E\) và \(F\) được tạo thành từ các đoạn thẳng song song và trung điểm.
2. Dựa vào tỉ lệ đã chứng minh ở phần a), ta thấy rằng \(EG\) và \(FH\) đều bằng \(EF\).

### d) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng \(OM, DG, CH\) đồng quy.

1. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\):
- Sử dụng định lý Menelaus trong tứ giác \(ABCD\) với các đường chéo.
- Theo đó, các trung điểm và giao điểm sẽ tạo thành các giao điểm đồng quy.

Kết luận bạn sẽ đạt được kết quả cần chứng minh cho hình thang ABCD.