Ta sẽ giải từng phần của bài toán:

**Phần a: Tính DC**

Cho tam giác \( ABC \) với \( AB = 4 \) cm, \( AC = 6 \) cm, \( BD = 3 \) cm. Ta cần tìm độ dài \( DC \).

Vì \( D \) là điểm chia đoạn thẳng \( BC \) theo tỉ lệ của các cạnh đối diện \( AB \) và \( AC \) theo định lý phân giác trong hình tam giác, ta có:

\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

Thay các giá trị đã biết vào tỉ lệ:

\[
\frac{3}{DC} = \frac{4}{6}
\]

Từ đó, ta tính được \( DC \):

\[
\frac{3}{DC} = \frac{2}{3}
\]

Từ đấy, nhân chéo ta được:

\[
3 \cdot 3 = 2 \cdot DC \Rightarrow 9 = 2DC \Rightarrow DC = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ cm}
\]

Vậy, \( DC = 4.5 \) cm.

**Phần b: Tứ giác BNPM là hình gì?**

Ta có các điểm:

- \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \)
- \( N \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \)
- \( P \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AC \)

Theo định nghĩa trung điểm, ta có:

\[
BM = MC = \frac{BC}{2}
\]
\[
AN = NB = \frac{AB}{2} = 2 \, \text{cm}
\]
\[
AP = PC = \frac{AC}{2} = 3 \, \text{cm}
\]

Trong tứ giác \( BNPM \):
- \( BN \) và \( MP \) nối giữa các trung điểm của các cạnh \( AB \) và \( AC \), đồng thời \( M \) là trung điểm của \( BC \).

Vì có các trung điểm nên \( BNPM \) là một tứ giác đối xứng. Nếu \( BC \) cắt \( AD \) tại \( D \) và \( D \) là phân giác thì \( BN \) và \( MP\) cũng sẽ cắt nhau.

Do đó, tứ giác \( BNPM \) là hình chữ nhật (hoặc hình thoi nếu \( AB \) và \( AC \) cùng độ dài, nhưng mình đã có các độ dài khác nhau nên chỉ có thể khẳng định là hình chữ nhật).

**Phần c: Chứng minh \( NI \cdot PC = PI \cdot NB \)**

Từ việc giao điểm của \( AD \) và \( NP \) là \( I \), ta cần chứng minh rằng:

\[
NI \cdot PC = PI \cdot NB
\]

Theo định lý phân giác, ta biết rằng:

\[
\frac{AN}{NB} = \frac{AP}{PC}
\]

Hơn nữa do \( N \) và \( P \) là các trung điểm nên:

\[
AN = NB \text{ và } AP = PC
\]

Thay thế vào phương trình, ta có:

\[
\frac{NI}{PI} = \frac{NB}{AN} = 1 \Rightarrow NI \cdot PB = PI \cdot NB
\]

Vậy, từ các tỉ lệ này, \( NI \cdot PC = PI \cdot NB \) sẽ được chứng minh.

Tóm lại:
- \( DC = 4.5 \) cm
- Tứ giác \( BNPM \) là hình chữ nhật.
- Tỉ lệ \( NI \cdot PC = PI \cdot NB \) được chứng minh đúng.