Cho tam giác MNP vuông tại M có MN < MP. Vẽ đường trung tuyển MI, kẻ IE vuông góc với MN tại E, IF vuông góc với MP tại F

Để giải bài toán này, ta tiến hành từng phần một.

### Phần a: Chứng minh MI = EF.

**Giải:**

- Gọi I là trung điểm của đoạn MN, từ đó ta có:
\[
MI = \frac{1}{2} MN
\]

- Gọi E là điểm trên MN sao cho IE vuông góc với MN.
- Gọi F là điểm trên MP sao cho IF vuông góc với MP.

- Ta có tam giác MIP vuông tại M (vì MN và MP là hai cạnh vuông góc).
- Từ tam giác MIE, chiều cao từ I đến MN là MI và chiều cao từ F đến MP là EF.

- Do đó, theo định nghĩa của chiều cao trong tam giác vuông:
\[
MI = EF
\]

### Phần b: Chứng minh tứ giác EIPF là hình bình hành.

**Giải:**

- Tứ giác EIPF gồm các cạnh EI, IP, PF và FE.

- Ta đã biết rằng IE vuông góc với MN và IF vuông góc với MP, do đó:
- Chúng ta có Ei // PF (cùng song song với nhau) và EI = PF (vì cả hai đều là chiều cao tại hai điểm E và F).

- Tương tự, IP // EF và IP = EF (vì cả hai cũng là chiều cao từ I và là cạnh đối của hình bình hành).

- Do đó, tứ giác EIPF là hình bình hành.

### Phần c: Chứng minh tứ giác EHIF là hình thang cân.

**Giải:**

- Tứ giác EHIF có hai cạnh EH và IF là hai đường cao từ các điểm E và F đối diện nhau.

- Với EI // PF, thì EH // FI.

- Điều này có nghĩa là các góc ở hai bên EH và IF tương ứng là góc cân.

- Do đó, tứ giác EHIF là hình thang cân.

### Phần d: Gọi K là giao điểm của MH và EF. Chứng minh K là trung điểm của MH.

**Giải:**

- Gọi K là giao điểm của đường cao MH và EF.

- Từ phần (b), ta đã chứng minh rằng tứ giác EIPF là hình bình hành do đó E, I, P, F đều nằm trên cùng một đường thẳng.

- Mặt khác, HI và EF đều đối xứng qua K.

- Vì K là giao điểm của đường cao và cũng là trung điểm của EF (do EIPF là hình bình hành), ta có:
\[
MH = 2 \cdot K
\]

- Từ đó, K là trung điểm của đoạn MH.

### Kết luận:

Chúng ta đã hoàn thành tất cả các phần của bài toán, như vậy ta đã chứng minh 4 yêu cầu đặt ra trong bài toán.