Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của các tiếp tuyến và hình học trong hệ thức giữa các đoạn thẳng.

**Đặt bài toán**:

Cho đường tròn O bán kính R, đường kính AB. Qua A và B, ta dựng hai tiếp tuyến Ax và By. Đường tròn O với bán kính r có đường kính AB cũng sẽ có các tiếp tuyến Ax và By. Khi lấy điểm H thuộc đường tròn O (r), chúng ta dựng một tiếp tuyến cắt các tiếp tuyến Ax và By tại các điểm C và D tương ứng.

### a) Chứng minh rằng góc COD = 90 độ

Góc COD là góc giữa hai tiếp tuyến AC và BD. Theo định lý về tiếp tuyến, cho một điểm H nằm ngoài đường tròn O, đoạn thẳng OH vuông góc với tiếp tuyến cắt tại H. Do đó:

\[
\angle COD = \angle HAO + \angle HBO = 90^\circ
\]

Vậy \( \angle COD = 90^\circ \).

### b) Chứng minh rằng CD = AC + BD

Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:

- AC là tiếp tuyến từ A đến H.
- BD là tiếp tuyến từ B đến H.

Khi H nằm trên đường tròn O, theo định lý tiếp tuyến, chiều dài cd được tính bằng tổng của các đoạn thẳng tiếp tuyến từ các điểm A, B đến H, tức là:

\[
CD = AC + BD
\]

### c) Chứng minh rằng \( HO^2 = AC \cdot BD \)

Áp dụng định lý Ptoleme trong tứ giác AOBH (với A, O, B, H là các đỉnh), ta có:

\[
AB \cdot HO = AH \cdot BH
\]

Và do AD là tiếp tuyến nên \( AH^2 = AC^2 \), \( BH^2 = BD^2 \), do đó ta có:

\[
AO^2 + BO^2 = AC \cdot BD
\]

Khi đó, khi \( O \) là tâm đường tròn và H nằm trên đường tròn, ta có:

\[
HO^2 = AO \cdot BO \Rightarrow HO^2 = AC \cdot BD
\]

### d) Tìm vị trí của H để đoạn CD ngắn nhất

Để CD ngắn nhất, hãy sử dụng bất đẳng thức Cosi:

\[
CD^2 = AC^2 + BD^2 - 2 \cdot AC \cdot BD \cdot \cos(\angle AHB)
\]

Để CD ngắn nhất, \(\cos(\angle AHB)\) cần đạt giá trị lớn nhất. Điều này xảy ra khi điểm H được đặt trên đường tròn sao cho AC và BD vuông góc, tức là H nằm trên đường tròn có đường kính AB. Khi đó, góc AHB = 90 độ.

Vậy vị trí H lý tưởng cho đoạn CD ngắn nhất là nằm trên đường tròn O (r) và đi qua các điểm A và B.

### Kết luận:
Ta đã chứng minh các yêu cầu a, b, c và d trong bài toán bằng cách sử dụng các tính chất và định lý hình học cơ bản.