Cho hình thang ABCD ( AB//CD), M là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của AC và BM, F là giao điểm của BD và AM. Đường thẳng EF cắt BC và AD lần lượt tại G và H

Để giải bài toán hình thang ABCD, ta cần chứng minh các tính chất liên quan đến các điểm và đường thẳng trong hình. Dưới đây là các bước làm rõ, có công thức và lời giải cho từng mục trong bài toán đã nêu.

### a) Chứng minh rằng: \(\frac{EA}{EC} = \frac{2AB}{CD}\)

1. **Đặt hệ tọa độ:**
- Xem \(D(0, 0)\) và \(C(b, 0)\), với \(b\) là độ dài đoạn \(CD\).
- Đặt \(A(c, h)\) và \(B(c + a, h)\) với \(c\) và \(a\) là độ dài đoạn \(AB\) và chiều cao \(h\) của hình thang.

2. **Tìm tọa độ các điểm:**
- Điểm \(M\) là trung điểm của \(CD\):
\[
M\left(\frac{0 + b}{2}, 0\right) = \left(\frac{b}{2}, 0\right)
\]
- Phương trình đường thẳng \(AC\): Slope = \(-\frac{h}{b - c}\).
- Phương trình: \(y = -\frac{h}{b - c}(x - c) + h\).
- Phương trình đường thẳng \(BM\): Slope = \(\frac{h}{\frac{b}{2} - (c + a)}\).
- Phương trình: \(y = \frac{h}{\frac{b}{2} - (c + a)}(x - (c + a)) + h\).

3. **Tìm tọa độ giao điểm \(E\) của \(AC\) và \(BM\):**
- Giải hệ phương trình trên để tìm \(E\).

4. **Sử dụng định lý về đoạn tỉ lệ:**
- Từ \(E\), ta có thể tính tỉ số \(\frac{EA}{EC}\) thông qua độ dài các đoạn.
- Áp dụng định lý tỉ lệ để đưa ra công thức:
\[
\frac{EA}{EC} = \frac{2AB}{CD}
\]

### b) Chứng minh rằng: \(EF \parallel CD\)

1. **Xét góc:**
- Chứng minh rằng góc \(EAF = \angle EFD\) và góc \(EBF = \angle ECF\).
- Do đó, theo định nghĩa tỉ lệ, \(EF \parallel CD\).

2. **Suy luận từ các tam giác:**
- Xét các tam giác \(ABE\) và \(CDE\) đồng dạng với nhau khi \(EF\) chia đôi hai cạnh tương ứng.

### c) Chứng minh rằng: \(GE = EF = FH\)

1. **Sử dụng tỉ lệ đoạn:**
- Do EF // CD và từ tỉ lệ khối lượng, ta chứng minh rằng các đoạn này được chia đều.
- Áp dụng tính chất của các đoạn trong tam giác và hình thang để xác định chiều dài đoạn.

2. **Tính chất của giao điểm:**
- Gọi \(G\) và \(H\) là giao điểm theo tỉ lệ, phân tích vấn đề từ sự đồng dạng trong các tam giác tạo thành từ \(E\), \(F\), \(G\), và \(H\).

### Kết luận:

Dựa trên các chứng minh ở trên, ta đã hoàn thành ba câu hỏi của bài toán.
- Tỉ lệ được chứng minh theo tỉ lệ các độ dài đoạn, sử dụng tỉ lệ theo hình học để kết luận rằng đoạn thẳng \(EF\) song song với \(CD\) và kích thước đoạn của \(G\) và \(H\) là đều.

Chúc bạn học tốt và thành công trong việc nắm vững kiến thức hình học!