Để giải bài toán, ta tiến hành từng phần một.

### Phần 1: Tìm hai số \(a\) và \(b\)
Biết rằng \(\frac{a}{b} = \frac{4}{3}\), điều này có thể viết lại là:
\[
a = \frac{4}{3}b
\]
Ngoài ra, ta có \(a - b = 16\).

Thay \(a\) từ phương trình đầu vào phương trình thứ hai:
\[
\frac{4}{3}b - b = 16
\]
Thao tác với phương trình này:
\[
\frac{4}{3}b - \frac{3}{3}b = 16 \\
\frac{1}{3}b = 16 \\
b = 48
\]
Thay \(b\) vào công thức tính \(a\):
\[
a = \frac{4}{3} \times 48 = 64
\]
Vậy, ta có:
\[
a = 64, \quad b = 48
\]

### Phần 2: Tìm các số \(m\), \(n\) và \(p\)
Theo tỉ lệ \(m:n:p = 6:8:9\), ta có thể viết như sau:
\[
m = 6k, \quad n = 8k, \quad p = 9k
\]
với \(k\) là một hệ số.

Biết rằng \(m - n + p = 21\):
\[
6k - 8k + 9k = 21 \\
(6k - 8k + 9k) = 7k = 21 \\
k = 3
\]
Thay \(k\) vào công thức để tìm các số:
\[
m = 6 \times 3 = 18 \\
n = 8 \times 3 = 24 \\
p = 9 \times 3 = 27
\]
Vậy, ta có:
\[
m = 18, \quad n = 24, \quad p = 27
\]

### Kết luận
- Các số \(a\) và \(b\) là \(64\) và \(48\).
- Các số \(m\), \(n\) và \(p\) là \(18\), \(24\) và \(27\).