Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần.

### a) Chứng minh ∆IAM = ∆ICN

**Chứng minh:**
1. Gọi A và B là các đỉnh của hình bình hành ABCD, và xác định tọa độ như sau:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(b, c)
- D(b + a, c)

2. Điểm M nằm giữa A và B, nên M có tọa độ:
\[
M\left( \frac{a}{2}, 0 \right)
\]
(vì AM = MB).

3. Điểm N nằm giữa C và D, nên N có tọa độ:
\[
N\left( b + \frac{a}{2}, c \right)
\]
(vì CN = ND).

4. Theo giả thiết của bài toán, AM = CN:
\[
AM = \frac{a}{2} \quad \text{và} \quad CN = \frac{a}{2}
\]

5. Gọi I là giao điểm của MN và AC. Chúng ta cần chứng minh rằng hai tam giác IAM và ICN có các cạnh tương ứng bằng nhau:
- AI = CI (cả hai đều là đoạn thẳng nối từ A đến C).
- AM = CN (theo giả thiết).
- ∠IAI = ∠ICI (cùng nằm trong tam giác).

Từ điều này, ta suy ra rằng:
\[
\Delta IAM \cong \Delta ICN
\]

### b) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành

**Chứng minh:**
1. Tứ giác AMCN có hai cặp cạnh đối diện nhau, AM và CN, bằng nhau (AM = CN).
2. Hai cặp cạnh này cũng song song với nhau vì AM, CN là hai đoạn thẳng nằm giữa hai đường chéo của hình bình hành ABCD.
3. Hơn nữa, we cũng có NM // AC vì tứ giác AMCN nằm trong hai đường chéo của hình bình hành.
4. Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng:
- AM || CN (cùng chiều),
- AN || MC (cùng chiều).

Do hai cặp cạnh đối diện của tứ giác AMCN đều song song và bằng nhau, nên tứ giác AMCN là hình bình hành.

### c) Chứng minh ba điểm B, I, D thẳng hàng

**Chứng minh:**
1. Do tứ giác AMCN là hình bình hành, I là giao điểm của MN và AC.
2. MN cắt AC tại I, tức là I nằm trên đường chéo AC của hình bình hành.
3. B và D cũng là các đỉnh của hình bình hành ABCD. Vì vậy, B nằm trên một đường thẳng tối ưu có các đỉnh trên cùng một đường chéo.
4. Từ đó, khi quan sát, ta có thể thấy rằng B, I, D nằm trên cùng một đường thẳng.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh cả ba điều cần thiết trong bài toán.