Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### Phần a: Chứng minh tam giác ABM bằng tam giác ACM và AM là tia phân giác của góc BAC.

Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \).

1. **Tam giác ABM và tam giác ACM**:
- Ta có: \( AB = AC \) (giả thiết).
- \( BM = MC \) (vì \( M \) là trung điểm của \( BC \)).
- \( AM = AM \) (cạnh chung).

Từ đó từ tiêu chí cạnh - cạnh - cạnh (CCS), ta có:
\[
\triangle ABM \cong \triangle ACM
\]
Suy ra:
\[
\angle ABM = \angle ACM
\]

2. **AM là tia phân giác của góc BAC**:
- Từ \( \angle ABM = \angle ACM \), ta có:
\[
\angle BAM = \angle CAM
\]
Theo định nghĩa, \( AM \) chính là tia phân giác của góc \( BAC \).

### Phần b: Chứng minh CN vuông góc với BD.

Bây giờ, ta xét điểm \( D \) trên cạnh \( AB \) sao cho \( CB = CD \).

1. Gọi \( I \) là giao điểm của tia phân giác của góc \( BCD \) với cạnh \( BD \).

2. Theo định lý tia phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{BI}{ID} = \frac{BC}{CD}
\]
Nhưng \( BC = CD \), cho nên:
\[
\frac{BI}{ID} = 1 \implies BI = ID
\]
Điều này có nghĩa là \( I \) chính là trung điểm của đoạn \( BD \).

3. Do đó, \( CN \) vuông góc với \( BD \) (vì tia phân giác của góc \( BCD \) cắt \( BD \) tại điểm trung điểm \( N \)).

### Phần c: Chứng minh BE - CE = 2BN.

1. Theo giả thiết, trên tia đối của tia \( CA \), ta có điểm \( E \) sao cho \( AD = CE \).

2. Do đó, ta có:
- \( BE = BD + DE \)
- \( CE = CD + DE \)
- Với \( CD = CB \) và \( AD = CE \).

3. Ta có từ đó \( BE - CE \) như sau:
\[
BE - CE = (BD + DE) - (CD + DE) = BD - CD
\]
Mà \( BD = 2BN \) (vì \( N \) là trung điểm của \( BD \) và từ \( D \) đến \( N \) có đoạn bằng nhau).

4. Do đó, ta sẽ có:
\[
BE - CE = 2BN
\]

Tóm lại, ta đã chứng minh:
- AM là tia phân giác của góc BAC,
- CN vuông góc với BD,
- BE - CE = 2BN.

Hy vọng rằng gợi ý này sẽ giúp bạn trong việc giải bài tập!