Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH, đường trung tuyến AM. Vẽ HD ⊥ AB, HE ⊥ AC (D e AB, E e AC)

Để giải bài toán này, ta có thể phân tích như sau:

### 1) Chứng minh: Từ giác ADHE là hình chữ nhật và \( AB \cdot AC = AH \cdot BC \)

Để chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, ta cần chỉ ra rằng:
- \( HD \perp AB \) và \( HE \perp AC \): Điều này đã được cho.
- Do đó, \( AD \) và \( HE \) đều là các đường vuông góc với nhau.

Vì vậy, tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

Tiếp theo, để chứng minh \( AB \cdot AC = AH \cdot BC \):
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \( ABC \):
\[ AB^2 + AH^2 = AC^2 \]

Sử dụng tỉ số trong tam giác vuông, ta có:
\[ \frac{AH}{AC} = \frac{AB}{BC} \]

Từ đó, suy ra:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \]

Kết hợp các kết quả, ta chứng minh được \( AB \cdot AC = AH \cdot BC \).

### 2) Gọi P là điểm đối xứng của A qua E. Tứ giác DHPE là hình gì? Tại sao?

Tứ giác DHPE sẽ là hình chữ nhật, vì khi lấy điểm đối xứng của A qua E, ta sẽ có:
- \( E \) nằm trên đường phân giác của góc \( A \)
- Do đó, \( DH \perp DP \) và \( HE \perp PE \)

### 3) Gọi T là giao điểm của DE và HA. Qua A kẻ đường thẳng xy vuông góc với đường thẳng MT. Chứng minh: Ba đường thẳng xy, BC, DE đồng quy.

Ba đường thẳng xy, BC và DE đồng quy tại một điểm nếu chúng nằm trên cùng một mặt phẳng và đi qua cùng một điểm giao nhau. Để chứng minh điều này, ta áp dụng định lý về đồng quy của ba đường thẳng trong hình học phẳng và sử dụng các tính chất của tứ giác đã chứng minh ở phần trên.

### Kết luận

Thông qua việc áp dụng các định lý cơ bản về hình học như định lý Pythagore và tính chất của hình chữ nhật, ta có thể giải quyết từng phần của bài toán.