Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

1. **Chứng minh: ΔEAB cân tại E và tứ giác ADEF là hình chữ nhật.**

- Gọi D là trung điểm của AB, E là trung điểm của BC.
- Với ΔEAB, vì D và E là trung điểm, nên AD = DB và AE = EC. Do đó, ΔEAB là tam giác cân tại E.
- Để chứng minh tứ giác ADEF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh EF vuông góc với AE và AD.
- EF vuông góc với AC, và AC vuông góc với AB (vì ABC vuông tại A).
- Suy ra EF vuông góc với AD (do AD là phần mở rộng của AB) và AE. Vậy ADEF là hình chữ nhật.

2. **Chứng minh: tứ giác BDFE là hình bình hành.**

- Để chứng minh tứ giác BDFE là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.
- Vì D là trung điểm của AB và E là trung điểm của BC, do đó:
- BD = DF (BDF là một đường chéo)
- FE = EB (FE và EB là hai đoạn bằng nhau do E là trung điểm).
- Với điều này, ta có BDFE là hình bình hành.

3. **Lấy điểm T đối xứng với E qua D. Chứng minh: tứ giác ATBE là hình thoi.**

- Điểm T đối xứng với E qua D nghĩa là DT = DE.
- Do E là trung điểm của BC, và D là trung điểm của AB, nên DT = DE.
- Ta có AB || EC và AT // BE (vì D và E là trung điểm).
- Do đó, tứ giác ATBE có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, điều này cho thấy ATBE là hình thoi.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh các yêu cầu trong đề bài.