Để giải bài toán geometry này về tam giác cân, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất cơ bản và luật sin.

### a) Chứng minh rằng \( \Delta ABH = \Delta ACK \)

**Cách chứng minh:**

1. **Định nghĩa các thuộc tính**:
- Căn cứ vào thông tin đề bài, chúng ta có \( BH \perp AC \) và \( CK \perp AB \).
- Ký hiệu cạnh AB là c, AC là b, AH là h, CK là k.

2. **Xét các tam giác**:
- Trong tam giác \( \Delta ABH \):
- Có cạnh AB là chung \( c \).
- Có đoạn BH là h (từ B đến HP nằm trên AC).
- Đoạn AH là nguyên chục cao của \( \Delta ABH \).
- Trong tam giác \( \Delta ACK \):
- Cạnh AC là nguyên chục cao \( b \) từ ak nang CK.
- Có đoạn CK là k.

3. **Tam giác vuông**:
- Hai tam giác \( \Delta ABH \) và \( \Delta ACK \) đều chứa một góc vuông.
- Với \( \angle AHB = \angle AKC = 90^\circ\).

4. **Tính đồng dạng**:
- Do tính chất của tam giác vuông cân, ta có \( \Delta ABH \sim \Delta ACK \).

Từ đây, ta suy ra rằng:

\[
\Delta ABH = \Delta ACK
\]

### b) Chứng minh rằng \( IB = IC \)

1. Xét giao điểm I là nơi giao nhau của BH và CK.
2. Từ tính chất của tam giác đồng dạng ở phần a, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BH}{CK}
\]

3. Từ điều này, vì BH và CK đều là đường vuông góc từ B và K đến AC và AB, nên đường chéo:

\[
IB = IC
\]

4. Kết luận rằng:

\[
IB = IC
\]

### c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, I, M thẳng hàng.

1. Gọi M là trung điểm của BC, khi đó BM = MC.
2. Xét điều kiện tam giác ABM và ACM:
- Theo tính chất của tam giác cân là \( I \) nằm trên đường trung bình.

3. Từ điều này và tính chất của các điểm B, A, I, C, M, chúng ta lập luận rằng:
- Trong triangle ACM và ABM, các đường thẳng bien giữa các đỉnh chạm nhau sẽ đi qua M.

4. Với tính đối xứng của tam giác cân \( \Delta ABC \), điểm I là điểm trên rẽ ra từ A đến đường trung bì M.

Cuối cùng, từ những lập luận trên có thể thấy rằng điểm A, I và M thẳng hàng.

Kết luận: Ba điểm A, I, M thẳng hàng.