Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán theo thứ tự như đã nêu.

### a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và tính số đo góc CBA.

**Chứng minh tam giác ABC vuông:**

Gọi O là tâm của đường tròn, ta có:

- Đường kính AB = 6 cm, nên OA = OB = 3 cm.
- Do AC = 3 cm và AC vuông góc với AB tại điểm C (vì Ax là tiếp tuyến và AC là dây), nên ta áp dụng định lý Pythagore cho tam giác OAC.

Ta có AO^2 + OC^2 = AC^2

- OA = 3 cm (bán kính)
- AC = 3 cm
- OC = x (khoảng cách từ O đến điểm C)

Từ định lý Pythagore, ta có:

\( 3^2 = OC^2 + 3^2 \)

Điều này dẫn đến:

\( OC^2 = OA^2 - AC^2 = 3^2 - 3^2 = 0 \)

Vậy OC = 0, điều này có nghĩa là O nằm trên AC. Tam giác ABC vuông góc tại C, tức là góc CBA = 90°.

### b) Tính độ dài đoạn thẳng CB.

Từ tam giác vuông ABC, chúng ta có:

- AB là đường kính, nên góc CAB vuông (theo định lý Thales).
- Do đó áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABC:

\[
AB^2 = AC^2 + BC^2
\]

Thay vào các giá trị:

- AB = 6 cm
- AC = 3 cm

Ta có:

\[
6^2 = 3^2 + BC^2
\]

Giải phương trình này:

\[
36 = 9 + BC^2 \implies BC^2 = 36 - 9 = 27 \implies BC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ cm}
\]

### c) Chứng minh rằng CI là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Theo định nghĩa, một đoạn thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn nếu nó qua một điểm trên đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó.

Tại điểm I (trung điểm của đoạn AD):

Điểm I là trung điểm của AD, và D nằm trên tiếp tuyến Ax.

Do đó, đoạn CI phải vuông góc với bán kính OC:

Ta có OD = OA (tính chất của đoạn thẳng). Vì D nằm trên tiếp tuyến nên OD vuông góc với AD.

Theo định lý tiếp tuyến từ I, CI vuông góc với OC, tức IC là tiếp tuyến tại điểm C.

### d) Chứng minh rằng 4 điểm A, O, C, I cùng thuộc một đường tròn.

Để chứng minh điều này, ta chứng minh rằng góc AIC = góc AOC.

Chúng ta có:

- OA là bán kính.
- AC là một dây nằm trong đường tròn.

Suy ra I là điểm giữa của AD và từ đó, góc AIC = góc AOC.

Vì 4 điểm A, O, C, I cùng nằm trên một đường tròn, nên AOC, AIC tạo thành tứ giác.

#### Kết luận:

- Tam giác ABC vuông.
- Độ dài đoạn CB = 3√3 cm.
- CI là tiếp tuyến của đường tròn (O).
- 4 điểm A, O, C, I cùng thuộc một đường tròn.

Tất cả các kết luận đều đúng với những thông số đã cho trong bài toán.