Trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \) với \( AB < AC \), cho các điểm \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), và \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \).

### a) Xét tứ giác \( AEHF \)

Ta kẻ đường thẳng \( EF \) vuông góc với \( AB \) và \( AC \) tại các điểm \( E \) và \( F \) tương ứng, với \( E \in AB \) và \( F \in AC \).

Tứ giác \( AEHF \) được tạo thành từ các điểm \( A \), \( E \), \( H \), và \( F \).

1. \( AE \) vuông góc với \( EF \) (bởi \( EF \) vuông góc với \( AB \)).
2. \( AF \) vuông góc với \( EF \) (bởi \( EF \) vuông góc với \( AC \)).
3. \( EH = HF \) (bởi \( H \) là nơi giao nhau và do tính đối xứng).

Do đó, ta có \( AEHF \) là một hình chữ nhật.

### b) Chứng minh \( DB = AK \)

Ta đã chỉ ra rằng \( D \), \( B \), \( A \), và \( K \) là các điểm mà các định nghĩa về cao và trung tuyến sẽ
giúp chúng ta thể hiện các quan hệ độ dài dựa trên định lý Pythagore.

1. Mặt phẳng \( BC \) có thể được chia thành hai đoạn \( BD \) và \( KA \).
2. Bởi vì tam giác \( AHB \) và \( AHC \) đều chứa các đường độ dài bằng nhau từ cao \( AH \).
3. Do \( H \) là chân đường cao, hệ quả là \( DB = AK \).

### c) Chứng minh tứ giác \( HI EF \) là hình thang

Khi xem xét tứ giác \( HI EF \):

- Các cạnh \( HI \) và \( EF \) đều vuông góc với \( AC \) và \( AB \) tương ứng.
- Gọi \( I \) là giao điểm của đường nối \( H \) và đường thẳng chứa \( EF \).

Khí hậu:

1. \( HI \parallel EF \) (bởi lý do tương tự như \( AC \) vuông góc với \( AB \)).
2. Hai cạnh \( HI \) và \( EF \) song song được xác nhận.

Như vậy, \( HI EF \) là hình thang.

Tóm lại, với các yếu tố trên, ta có thể chứng minh rằng \( AEHF \) là hình chữ nhật, \( DB = AK \), và tứ giác \( HIEF \) là hình thang thông qua định nghĩa và tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác vuông.