Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng 5cm và độ dài trung đoạn là 9cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó

Để giải bài tập này, ta sẽ tiến hành từng phần một:

### Câu 2:
**a)** Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\).

1. **Diện tích đáy (ABC)**:
- Đáy là tam giác đều với độ dài cạnh \(a = 5 \, \text{cm}\).
- Diện tích của tam giác đều tính bằng công thức:
\[
S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (5)^2 = \frac{25\sqrt{3}}{4} \, \text{cm}^2
\]

2. **Chiều cao của tam giác (từ S xuống đáy)**:
- Trung đoạn (từ S xuống điểm giữa của đáy) có độ dài \(9 \, \text{cm}\).
- Chiều cao \(h\) từ S xuống đáy:
\[
h = \sqrt{9^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2} = \sqrt{81 - \left(\frac{5\sqrt{3}}{6}\right)^2}
\]
Tính được:
\[
h = \sqrt{81 - \frac{25}{12}} \approx \sqrt{81 - 2.0833} \approx \sqrt{78.9167} \approx 8.86 \, \text{cm}
\]

3. **Diện tích xung quanh** \(S_{xung_quanh}\) của hình chóp:
- Diện tích xung quanh là tổng diện tích 3 tam giác \(S\)–\(A\), \(S\)–\(B\), và \(S\)–\(C\):
\[
S_{xung_quanh} = \frac{1}{2} \cdot \text{chu vi đáy} \cdot \text{độ cao} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 9 = \frac{15 \cdot 9}{2} = 67.5 \, \text{cm}^2
\]

**b)** Tính thể tích của hình chóp \(S.ABCD\):
- Hình chóp đều với cạnh đáy \(a = 9 \, \text{cm}\) và chiều cao \(h = 12 \, \text{cm}\).
- Thể tích được tính bằng công thức:
\[
V = \frac{1}{3} S_{base} \cdot h
\]
- Diện tích đáy:
\[
S_{base} = a^2 = 9^2 = 81 \, \text{cm}^2
\]
- Thể tích:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot 12 = 324 \, \text{cm}^3
\]

**c)** Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\):
- Đáy có cạnh \(a = 15 \, \text{cm}\) và chiều cao \(h = 18 \, \text{cm}\).
- Diện tích đáy:
\[
S_{base} = a^2 = 15^2 = 225 \, \text{cm}^2
\]
- Thể tích:
\[
V = \frac{1}{3} S_{base} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 225 \cdot 18 = 1350 \, \text{cm}^3
\]

### Kết quả:
- a) Diện tích xung quanh hình chóp tam giác đều: \(67.5 \, \text{cm}^2\)
- b) Thể tích hình chóp \(S.ABCD\): \(324 \, \text{cm}^3\)
- c) Thể tích hình chóp tứ giác đều: \(1350 \, \text{cm}^3\)