Để giải bài toán này, ta có thể đặt số lượng dầu ở thùng thứ nhất là \( x \) lít và số lượng dầu ở thùng thứ hai là \( y \) lít.

Theo đề bài, ta có hai điều kiện:

1. Tổng số dầu trong hai thùng:
\[
x + y = 801
\]

2. Sau khi đổ 51 lít từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai, số dầu thùng thứ nhất sẽ là \( x - 51 \) và số dầu thùng thứ hai sẽ là \( y + 51 \). Khi đó, số dầu ở thùng thứ nhất hơn thùng thứ hai 101 lít:
\[
(x - 51) - (y + 51) = 101
\]

Biến đổi phương trình thứ hai:
\[
x - 51 - y - 51 = 101
\]
\[
x - y - 102 = 101
\]
\[
x - y = 203
\]

Bây giờ ta có một hệ phương trình gồm hai phương trình:

1. \( x + y = 801 \)
2. \( x - y = 203 \)

Ta giải hệ phương trình này bằng cách cộng hai phương trình lại:

\[
(x + y) + (x - y) = 801 + 203
\]
\[
2x = 1004
\]
\[
x = 502
\]

Thay giá trị của \( x \) vào phương trình \( x + y = 801 \):

\[
502 + y = 801
\]
\[
y = 801 - 502 = 299
\]

Vậy, lúc đầu thùng thứ nhất có 502 lít dầu và thùng thứ hai có 299 lít dầu.

**Đáp án cuối cùng:**
- Thùng thứ nhất: 502 lít
- Thùng thứ hai: 299 lít