Cho a, b, c thỏa mãn đồng thời a + b + c = 9 và a² + b² + c² = 27. Tính giá trị của biểu thức P

Để giải bài toán này, chúng ta có các điều kiện sau:

1. \( a + b + c = 9 \)
2. \( a^2 + b^2 + c^2 = 27 \)

Từ điều kiện 1, ta có \( c = 9 - a - b \).

Thay \( c \) vào điều kiện 2:

\[
a^2 + b^2 + (9 - a - b)^2 = 27.
\]

Giải phương trình này:

\[
(a^2 + b^2 + (9 - a - b)^2) = 27.
\]

Mở rộng:

\[
a^2 + b^2 + (81 - 18(a+b) + (a+b)^2) = 27.
\]

Sử dụng \( (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \):

\[
a^2 + b^2 + 81 - 18(a + b) + a^2 + b^2 + 2ab = 27.
\]

Tập hợp lại:

\[
2(a^2 + b^2) + 2ab - 18(a + b) + 81 = 27,
\]

\[
2(a^2 + b^2 + ab) - 18(a + b) + 54 = 0,
\]

\[
a^2 + b^2 + ab - 9(a + b) + 27 = 0.
\]

Đặt \( s = a + b \) và \( p = ab \):

Đổi phương trình về dạng:

\[
s^2 - 9s + 2p + 27 = 0.
\]

Bây giờ, thay vào biểu thức \( P \):

\[
P = (a - 2)^{2023} + (b - 3)^{2024} + (c - 4)^{2025}.
\]

Chúng ta biết \( c = 9 - s \):

\[
P = (a - 2)^{2023} + (b - 3)^{2024} + (5 - s)^{2025}.
\]

Cần tìm giá trị của \( a, b, c \) thoả mãn \( a + b + c = 9 \) và \( a^2 + b^2 + c^2 = 27 \).

Giải phương trình hệ này, giả thiết \( a = b \):

\[
2a + (9 - 2a) = 9 \Rightarrow c = 9 - 2a.
\]
Thay vào:

\[
2a^2 + (9 - 2a)^2 = 27.
\]

Giải từng bước để tìm các giá trị cụ thể và sau đó tính giá trị \( P \).