a) a - 2 < a - 3 với mọi số thực a.
Đây là một khẳng định sai.
Để chứng minh, ta xét bất đẳng thức:
a - 2 < a - 3
-2 < -3
Điều này là sai. Vậy khẳng định ban đầu sai.
b) Điều kiện xác định của phương trình (4x - 5)/(x - 1) = 4/(x + 1) là x = 0 và x = 1.
Đây là một khẳng định sai.
x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1
x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ -1
Vậy điều kiện xác định là x ≠ 1 và x ≠ -1, chứ không phải x = 0 và x = 1.
c) Có 3 số nguyên dương x thỏa mãn bất phương trình (x - 1)² ≥ 2(x - 1) - x(3 - x).
Đây là một khẳng định sai.
Ta biến đổi bất phương trình:
(x - 1)² ≥ 2(x - 1) - x(3 - x)
x² - 2x + 1 ≥ 2x - 2 - 3x + x²
x² - 2x + 1 ≥ x² - x - 2
-2x + 1 ≥ -x - 2
-x ≥ -3
x ≤ 3
Vì x là số nguyên dương, nên x có thể nhận các giá trị 1, 2, 3. Vậy có 3 số nguyên dương thỏa mãn. Tuy nhiên, nếu ta thay x=1 vào bất phương trình ban đầu:
(1-1)^2 >= 2(1-1) - 1(3-1)
0 >= -2 (Đúng)
Nếu x=2
(2-1)^2 >= 2(2-1) - 2(3-2)
1 >= 0 (Đúng)
Nếu x=3
(3-1)^2 >= 2(3-1) - 3(3-2)
4 >= 1 (Đúng)
Vậy có 3 số nguyên dương thỏa mãn là 1,2,3. Vậy khẳng định này đúng.
d) Phương trình 2/(x² - 4) + (x - 4)/(x(x + 2)) = (x - 1)/(x(x - 2)) có nghiệm duy nhất.
Đây là một khẳng định đúng.
Ta biến đổi phương trình:
2/((x - 2)(x + 2)) + (x - 4)/(x(x + 2)) = (x - 1)/(x(x - 2))
2x + (x - 4)(x - 2) = (x - 1)(x + 2)
2x + x²- 6x + 8 = x² + x - 2
-4x + 8 = x - 2
-5x = -10
x = 2
Tuy nhiên, x = 2 không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình ban đầu (vì làm cho mẫu số bằng 0). Vậy phương trình này vô nghiệm, hay nói cách khác, không có nghiệm duy nhất (mà là không có nghiệm nào). Vậy khẳng định sai.