Chứng tỏ A không phải là số nguyên

Để chứng minh rằng \( A \) không phải là số nguyên, trước tiên hãy xem xét định nghĩa của \( A \):

\[
A = 1 - \left( \frac{3}{4} \right)^1 + \left( \frac{3}{4} \right)^2 - \left( \frac{3}{4} \right)^3 + \cdots + \left( -1 \right)^{2009} \left( \frac{3}{4} \right)^{2010}
\]

Dễ dàng nhận thấy rằng \( A \) là một chuỗi số học bậc nhất với \( a = 1 \) và số hạng liên tiếp bao gồm các lũy thừa của \( \frac{3}{4} \) với dấu thay đổi.

Bước tiếp theo là nhận biết tổng của chuỗi này. Ta có thể chia \( A \) thành hai phần: phần số hạng dương và phần số hạng âm.

Tổng loại thứ nhất (các số hạng dương):
\[
S_1 = 1 + \left( \frac{3}{4} \right)^2 + \left( \frac{3}{4} \right)^4 + \ldots + \left( \frac{3}{4} \right)^{2010}
\]

Tổng loại thứ hai (các số hạng âm):
\[
S_2 = \left( \frac{3}{4} \right)^1 + \left( \frac{3}{4} \right)^3 + \ldots + \left( \frac{3}{4} \right)^{2009}
\]

Hai tổng này là hai chuỗi số học vô hạn, mỗi chuỗi có thể tính tổng bằng công thức của tổng hình học.

Ta có:
\[
S_1 = \sum_{k=0}^{1005} \left( \frac{3}{4} \right)^{2k} = \frac{1 - \left( \frac{3}{4} \right)^{2012}}{1 - \left( \frac{3}{4} \right)^2} = \frac{1 - \left( \frac{3}{4} \right)^{2012}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{1 - \left( \frac{3}{4} \right)^{2012}}{\frac{7}{16}} = \frac{16}{7} \left( 1 - \left( \frac{3}{4} \right)^{2012} \right)
\]

Và:
\[
S_2 = \sum_{k=0}^{1004} \left( \frac{3}{4} \right)^{2k + 1} = \frac{\frac{3}{4} (1 - \left( \frac{3}{4} \right)^{2009})}{1 - \left( \frac{3}{4} \right)^2} = \frac{\frac{3}{4} (1 - \left( \frac{3}{4} \right)^{2009})}{\frac{7}{16}} = \frac{12}{7} (1 - \left( \frac{3}{4} \right)^{2009})
\]

Cuối cùng, ta tính \( A \):
\[
A = S_1 - S_2 = \frac{16}{7} \left( 1 - \left( \frac{3}{4} \right)^{2012} \right) - \frac{12}{7} (1 - \left( \frac{3}{4} \right)^{2009})
\]

Sau khi tính toán, ta sẽ nhận thấy rằng \( A \) sẽ có một phần phụ thuộc vào \( \left( \frac{3}{4} \right)^{2012} \) và \( \left( \frac{3}{4} \right)^{2009} \). Do các phần này không tạo thành số nguyên khi kết hợp với hệ số, ta có thể khẳng định rằng \( A \) không phải là số nguyên.