Để chứng minh biểu thức \( A = x^2 + y^2 - 6x + 3y + 16 \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \) và \( y \), chúng ta có thể tìm giá trị tối thiểu của \( A \).

Ta sẽ hoàn thành bình phương cho các biến \( x \) và \( y \):

1. **Hoàn thành bình phương cho \( x \)**:
\[
x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9
\]

2. **Hoàn thành bình phương cho \( y \)**:
\[
y^2 + 3y = \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}
\]

Giờ chúng ta thay các biểu thức đã hoàn thành vào \( A \):
\[
A = \left( (x - 3)^2 - 9 \right) + \left( \left( y + \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{9}{4} \right) + 16
\]
\[
= (x - 3)^2 + \left( y + \frac{3}{2} \right)^2 - 9 - \frac{9}{4} + 16
\]
\[
= (x - 3)^2 + \left( y + \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{36}{4} - \frac{9}{4} + \frac{64}{4}
\]
\[
= (x - 3)^2 + \left( y + \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{36 + 9 - 64}{4}
\]
\[
= (x - 3)^2 + \left( y + \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{-19}{4}
\]
\[
= (x - 3)^2 + \left( y + \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{19}{4}
\]

Vì \( (x - 3)^2 \) và \( \left( y + \frac{3}{2} \right)^2 \) đều không âm (luôn ≥ 0), nên:
\[
A \geq 0 + 0 + \frac{19}{4}
\]

Và \(\frac{19}{4}\) là một số dương. Do đó, \( A \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \) và \( y \).

Chúng ta kết luận:
\[
A \text{ luôn dương với mọi } x, y.
\]