Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3, ta có:

• a + b + c = 3

Đặt:

• x = b + c - a
• y = c + a - b
• z = a + b - c

Khi đó, x, y, z > 0 (bất đẳng thức tam giác) và:

• x + y = 2c
• y + z = 2a
• z + x = 2b

Suy ra:

• a = (y + z)/2
• b = (z + x)/2
• c = (x + y)/2

Và x + y + z = a + b + c = 3

Biểu thức P trở thành:

P = (x³/3a) + (y³/3b) + (z³/3c) = (2x³)/(3(y+z)) + (2y³)/(3(z+x)) + (2z³)/(3(x+y))

2. Áp dụng bất đẳng thức:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (trung bình cộng - trung bình nhân) cho hai số dương u và v, ta có:

(u + v)/2 ≥ √(uv) hay u + v ≥ 2√(uv)

Áp dụng bất đẳng thức này cho từng mẫu số của P:

• y + z ≥ 2√(yz)
• z + x ≥ 2√(zx)
• x + y ≥ 2√(xy)

Do đó:

P ≥ (2x³)/(6√(yz)) + (2y³)/(6√(zx)) + (2z³)/(6√(xy)) = (x³)/(3√(yz)) + (y³)/(3√(zx)) + (z³)/(3√(xy))

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương a³, b³, c³ ta có : (a³+b³+c³)/3 >= (abc)^(3/3)=abc

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel cho 3 số dương, ta có:

P ≥ (x²/√(yz) + y²/√(zx) + z²/√(xy)) /3 ≥ (x+y+z)²/(√(yz)+√(zx)+√(xy)) /3

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu số: √(yz)+√(zx)+√(xy) ≤ x+y+z

=> P ≥ (x+y+z)/3 = 3/3 = 1

3. Xét dấu bằng:

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z. Mà x + y + z = 3, nên x = y = z = 1.

Khi đó:

• a = (1 + 1)/2 = 1
• b = (1 + 1)/2 = 1
• c = (1 + 1)/2 = 1

Vậy tam giác là tam giác đều.

Khi a = b = c = 1, P = (1³/3) + (1³/3) + (1³/3) = 1

Kết luận:

Giá trị nhỏ nhất của P là 1, đạt được khi a = b = c = 1 (tam giác đều).