Ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán.

### Phần a: So sánh góc \( \angle ABD \) và góc \( \angle ACE \)

1. Tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \) nên \( AB = AC \).
2. Theo giả thiết, \( AD = AE \).
3. Do đó, ta có:
- \( BD \) và \( CE \) là các đoạn thẳng nối từ các điểm này đến các điểm B và C tương ứng.

4. Ta sẽ xem xét tam giác \( ABE \) và \( ACD \):
- Vì \( AD = AE \) (theo giả thiết) và \( AB = AC \) (do tam giác cân), theo định lý lượng giác (định lý về hai tam giác đồng dạng), ta có:
- \( AB = AC , AD = AE \)
5. Dẫn đến:
- \( \angle ABD = \angle ACE \)

### Phần b: Tính chất của tam giác \( IBC \)

1. Gọi \( I \) là giao điểm của \( BD \) và \( CE \).
2. Để phân tích theo các đặc điểm của tam giác \( IBC \), ta cần xem xét mối quan hệ giữa các góc.

3. Từ phần a, ta biết rằng \( \angle ABD = \angle ACE \).
4. Khi điểm \( I \) nằm trên \( BD \) và \( CE\), ta nhận thấy rằng:
- \( \angle IBD = \angle IAC \) do chiều toán học (góc trong cùng phía), tương tự ta có \( \angle ICE = \angle IAE \).

5. Theo đó, trong tam giác \( IBC \):
- Ta có \( \angle IBC = \angle IAC + \angle IAB \) và \( \angle ICB = \angle IAE + \angle IEA \).

6. Kết quả là, do các góc tương ứng đều bằng nhau, cùng chiều, nên tam giác \( IBC \) là tam giác đều hoặc cân, tùy vào vị trí của điểm \( I \).

### Kết luận:

- a) \( \angle ABD \) và \( \angle ACE \) bằng nhau.
- b) Tam giác \( IBC \) có thể là tam giác cân hoặc tam giác đều, tùy thuộc vào vị trí giao điểm \( I \).