Để chứng minh rằng tam giác \( ABC \) có đường cao trùng với đường trung tuyến sẽ dẫn đến tam giác cân, ta có thể làm như sau:

**Giả sử**: Đường cao từ đỉnh \( A \) là \( AH \) và đường trung tuyến từ đỉnh \( A \) đến trung điểm \( M \) của cạnh \( BC \) là \( AM \).

**Điều kiện**: Ta có \( AH = AM \).

**Chứng minh**:

1. **Kí hiệu**: Gọi \( H \) là chân đường cao hạ từ \( A \) xuống cạnh \( BC \), tức là \( H \) nằm trên đường thẳng \( BC \). Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \).

2. **Xét tam giác \( AHB \) và \( AHM \)**:
- Theo giả thiết, ta có \( AH \) là đường cao, và \( AM \) là đường trung tuyến.
- Vì \( AM = AH \), ta sẽ chứng minh rằng \( AB = AC \) để kết luận tam giác \( ABC \) là tam giác cân.

3. **Xét theo định nghĩa đường cao và trung tuyến**:
- Đường cao \( AH \) của tam giác \( ABC \) chia \( BC \) thành hai đoạn là \( BH \) và \( HC \).
- Do \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BM = MC \).

4. **Áp dụng định lý Pitago**:
- Từ tam giác vuông \( AHB \), ta có:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
- Từ tam giác vuông \( AHC \), ta có:
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]

5. **So sánh**:
- Do \( BH = HC \) (vì \( M \) là trung điểm), ta suy ra \( BH = HC \), và \( BH = \frac{BC}{2} \) (do \( M \) là trung điểm).
- Giả sử \( BH = x \), thì \( HC = x \).

6. **Thay vào**:
- Ta có \( AB^2 = AH^2 + x^2 \) và \( AC^2 = AH^2 + x^2 \).
- Từ đó suy ra:
\[
AB^2 = AC^2
\]
- Do đó, \( AB = AC \).

**Kết luận**: Tam giác \( ABC \) có \( AB = AC \), tức là tam giác \( ABC \) là tam giác cân.

### Vẽ hình minh họa:

Để minh họa cho bài chứng minh, ta có thể vẽ hình bên dưới:

- Vẽ tam giác \( ABC \).
- Kẻ đường cao \( AH \) từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \).
- Kẻ đường trung tuyến \( AM \), với \( M \) là trung điểm của đoạn \( BC \).
- Đánh dấu các điểm \( H \) và \( M \).

Hãy lưu ý rằng việc vẽ hình sẽ giúp làm rõ hơn các định nghĩa và mối quan hệ giữa các điểm và đoạn thẳng trong tam giác.