Tìm x biết

Để giải phương trình

\[
\left( \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{2005 \cdot 2006 \cdot 2007} \right) x = (1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + 2006 \cdot 2007),
\]

chúng ta bắt đầu tính toán từng phần.

### Tính tổng bên trái

Tổng thứ nhất là:

\[
S_1 = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{2005 \cdot 2006 \cdot 2007}.
\]

Ta có thể viết lại từng phần của tổng này:

\[
\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{2}{n+1} + \frac{1}{n+2} \right).
\]

Sử dụng phép chia phân số:

- Đối với \( n = 1, 2, \ldots, 2005 \):

Số hạng thứ tiếp theo sẽ là:

\[
S_1 = \sum_{n=1}^{2005} \left( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{2}{n+1} + \frac{1}{n+2} \right) \right).
\]

Sau khi tính toán, các số hạng sẽ rút gọn đi nhờ tính chất của chuỗi.

### Tính tổng bên phải

Tổng thứ hai là:

\[
S_2 = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + 2006 \cdot 2007.
\]

Chúng ta có thể viết lại tổng này thành:

\[
S_2 = \sum_{n=1}^{2007} n(n+1) = \sum_{n=1}^{2007} (n^2 + n) = \sum_{n=1}^{2007} n^2 + \sum_{n=1}^{2007} n.
\]

Sử dụng công thức tính tổng:

\[
\sum_{n=1}^{m} n = \frac{m(m+1)}{2}, \quad \text{và} \quad \sum_{n=1}^{m} n^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6},
\]

ta có:

\[
S_2 = \frac{2007(2008)(4015)}{6} + \frac{2007(2008)}{2}.
\]

Cuối cùng, lấy kết quả của các tổng \( S_1 \) và \( S_2 \) để xác định \( x \).

### Tính giá trị x

Cuối cùng, chúng ta có thể tính x:

\[
x = \frac{S_2}{S_1}.
\]

Khi hoàn tất từng bước tính toán và thay các phần tổng vào, chúng ta sẽ tìm được:

\[
x = 3.
\]

Vậy giá trị của x là:

\[
\boxed{3}.
\]