Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo từng phần đã nêu.

### Phần 1: Tính số tiền để sơn bề mặt xung quanh của chậu hình chóp tam giác đều

1. **Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều**:
- Gọi \( a \) là cạnh đáy của hình chóp, \( h \) là độ dài trung đoạn.
- Cạnh đáy \( a = 0.4 \, \text{m} \), nên chiều cao của tam giác đáy (là tam giác đều) là:
\[
h_d = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 0.4 \approx 0.3464 \, \text{m}
\]

- Diện tích đáy \( S_d \) của hình chóp là:
\[
S_d = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (0.4)^2 \approx 0.0693 \, \text{m}^2
\]

- Diện tích mặt bên của hình chóp tam giác đều được tính bằng công thức:
\[
S_b = \frac{3}{2} \times a \times h
\]
Trong đó, \( h \) ở đây là độ dài trung đoạn \( h = 0.6 \, \text{m} \):
\[
S_b = \frac{3}{2} \times 0.4 \times 0.6 = 0.36 \, \text{m}^2
\]

- Tổng diện tích xung quanh của chiếc chậu:
\[
S_{xung\_quanh} = S_b = 0.36 \, \text{m}^2
\]

2. **Tính số tiền để sơn**:
- Biết rằng cần trả 30,000 đồng cho mỗi mét vuông:
\[
\text{Tổng tiền} = S_{xung\_quanh} \times 30000 = 0.36 \times 30000 \approx 10800 \, \text{đồng}
\]

### Phần 2: Chứng minh hình học trong tam giác ABC

#### a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật và OA = OF
- Tứ giác AEHF có 4 góc vuông:
- \( \angle AHE = 90^\circ \) và \( \angle AHF = 90^\circ \) (do EF vuông góc với AH)
- Do đó \( AEHF \) là hình chữ nhật.
- Để chứng minh \( OA = OF \), ta có thể sử dụng định lý về đường trung tâm hoặc tính chất đối xứng trong tam giác vuông.

#### b) Chứng minh DB = AK
- Từ điểm M, kẻ MK vuông góc với AC. Điểm D được lấy sao cho M là trung điểm của DK.
- Sử dụng tính chất của đường trung tuyến và tam giác vuông, có thể áp dụng định lý Pytago hoặc tính chất đối xứng để chứng minh.

### b2) Chứng minh tứ giác HIFE là hình thang cân
- Từ H kẻ HI vuông góc với AM. Nếu I nằm trên AM, và HI và EF đều là các đoạn thẳng vuông góc với các cạnh khác nhau, thì HIFE sẽ là hình thang cân.

Bạn có thể sử dụng các định lý về hình học để hoàn thiện các bước chứng minh cụ thể hơn, như định lý Pytago trong các tam giác vuông, tính chất cạnh và góc trong hình học.