Cho \( (y - z)^2 + (z - x)^2 + (x - y)^2 = (x + y - 2z)^2 + C_y + 2 - 2yx^2 + C_z + x - 2y)^2 \) với \( \alpha, y, z > 0 \). Tính: \[ P = \frac{xy}{z^2} + \frac{yz}{x^2} + \frac{zx}{y^2} \]

Bắt đầu từ phương trình đã cho:

\[
(y - z)^2 + (z - x)^2 + (x - y)^2 = (x + y - 2z)^2 + C_y + C_z + x - 2y
\]

Chúng ta cần tính giá trị của biểu thức:

\[
P = \frac{xy}{z^2} + \frac{yz}{x^2} + \frac{zx}{y^2}
\]

Để có thể tìm giá trị của \( P \), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức Trung bình - Geometric):

\[
\frac{xy}{z^2} + \frac{yz}{x^2} + \frac{zx}{y^2} \geq 3\sqrt[3]{\frac{(xy)(yz)(zx)}{(z^2)(x^2)(y^2)}}
\]

Ta có:

\[
(xy)(yz)(zx) = x^2y^2z^2
\]

Do đó:

\[
P \geq 3\sqrt[3]{\frac{x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}} = 3
\]

Vậy, có thể kết luận rằng giá trị nhỏ nhất của \( P \) là 3. Cũng như \( \alpha, y, z > 0 \), khi nào \( P = 3 \)? Điều này xảy ra khi:

\[
\frac{xy}{z^2} = \frac{yz}{x^2} = \frac{zx}{y^2}
\]

Điều này xảy ra khi \( x = y = z \).

Do đó, giá trị của \( P \) đạt được giá trị nhỏ nhất là 3 khi \( x = y = z \).

Kết luận:

\[
\boxed{3}
\]