Chúng ta sẽ chứng minh hai phần như đề bài yêu cầu.

### Phần a: Chứng minh tam giác MNK = tam giác ENK

1. **Giả thiết và định nghĩa**:
- Tam giác MNP vuông tại M, với MN < MP.
- Đặt E là điểm trên cạnh NP sao cho NM = NE.
- Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng ME.

2. **Sử dụng tính đối xứng**:
- Vì K là trung điểm của ME nên có thể viết:
\[
MK = KE
\]

3. **Chứng minh các cặp cạnh tương ứng**:
- Ta có:
- MN = NE (theo điều kiện cho trước).
- MK = KE (theo định nghĩa K là trung điểm).

4. **Chứng minh các góc tương ứng**:
- Góc NMK = góc ENK (cùng là góc giữa cạnh MN và ME tại K).
- Cả hai tam giác đều là tam giác vuông tại điểm M và E respectively.

Vậy, từ ba yếu tố đã chứng minh (cạnh tương ứng, cặp góc tương ứng), ta suy ra:
\[
\triangle MNK \cong \triangle ENK
\]

### Phần b: Chứng minh IE vuông góc NP

1. **Tiếp tục từ phần a**:
- Ta có tam giác MNK và ENK đã được chứng minh là đồng dạng.

2. **Nhìn vào thiết lập**:
- NK là đoạn thẳng nối K và N.
- Theo tính chất của tam giác đồng dạng, đặc biệt là khi K là trung điểm phần đáy của hai tam giác MNK và ENK, có thể kết luận rằng NK cũng sẽ cắt NP tại I với các góc bằng nhau tạo thành.

3. **Chứng minh góc tương ứng**:
- Xét điểm I là giao điểm của NK và MP.
- Do tính chất đối xứng của tam giác và định nghĩa, chúng ta có:
- Tam giác MNK và ENK có góc MNK = góc ENK.
- Đoạn thẳng KI sẽ tạo thành hai tam giác có các cặp góc MNK và EKN bằng nhau.

4. **Kết luận**:
- Do đó, ta sẽ cho rằng:
\[
\angle IEK = 90^\circ
\]
và do đó IE vuông góc với NP.

Vậy chúng ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán!