Để giải bài toán trên, ta cần thực hiện các phần theo yêu cầu:

a) **Chứng minh A, B, C, O cùng thuộc Một Đường Tròn:**
- Xét tam giác AOB và AOC, vì AB và AC là các tiếp tuyến với đường tròn (O), suy ra góc AOB và AOC bằng 90 độ.
- Ta có: ∠OAB = ∠OAC (cùng bằng 90 độ), do đó ∠AOB = 180° - ∠AOC.
- Điều này cho thấy rằng A, B, C, O cùng thuộc một đường tròn (đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

b) **Chứng minh OA là Đường Trung Trực của BC:**
- Xét tam giác OAB và OAC, theo tính chất của các tiếp tuyến, ta có AB = AC.
- Khi đó, OA là đoạn vuông góc với BC tại H, cho thấy OA là đường trung trực của BC.

c) **Chứng minh DE đối xứng với B qua O:**
- Vì D là điểm đối xứng với B qua O, nên ta có OD = OB.
- Gọi E là giao điểm của AD với đường tròn (O). Theo tính chất chéo của tương giao, E không trung hợp với A sẽ dẫn đến DE = DB; đồng thời, BD = BE vì D và E thuộc cùng một đường tròn và có tính chất đối xứng.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh đủ các yêu cầu của bài toán.