Để giải quyết bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần yêu cầu của đề bài.

### a. Chứng minh AMCN là hình bình hành

Ta có hình chữ nhật ABCD với các điểm M và N được chọn trên các cạnh AB và CD sao cho \( AM = CN \).

1. **Xét độ dài các đoạn thẳng:**
- Ta có:
\[
AM = CN
\]

2. **Xét các cạnh:**
- Vì M nằm trên AB và N nằm trên CD, do đó các đoạn thẳng AM và CN thuộc hai cạnh song song (AB // CD).
- Tương tự, ta có:
\[
AN = MC
\]

3. **Chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau:**
- Do đó:
\[
AM \parallel CN \quad \text{và} \quad AN \parallel MC
\]

4. **Kết luận:**
- Từ hình dạng và điều kiện \( AM = CN \) và \( AN = MC \), ta suy ra rằng hình tứ giác AMCN là hình bình hành, vì có cả hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.

### b. Chứng minh rằng DEFC là hình thang cân

1. **Xét các trung điểm:**
- Gọi E là trung điểm của AN và F là trung điểm của CM:
\[
\text{Trong đó} \quad E = \frac{A + N}{2}, \quad F = \frac{C + M}{2}
\]

2. **Xét cạnh DE:**
- DE là đoạn thẳng nối giữa trung điểm của đoạn AC (gọi là D) và trung điểm E.
- DE song song với CF (do DE và CF đều nằm trong hình chữ nhật AC và BD).

3. **Xét độ dài các cạnh:**
- Theo tính chất trung điểm, ta có:
\[
DE = CF
\]

4. **Kết luận:**
- Do DE và CF song song và bằng nhau, nên DEFC là hình thang cân.

### c. Chứng minh rằng tam giác OKI là tam giác cân

1. **Xác định tâm đối xứng O:**
- Tâm O là trung điểm của đoạn BD.

2. **Xác định các hình chiếu:**
- I là hình chiếu của B trên CM.
- K là hình chiếu của D trên CM.

3. **Chứng minh tam giác OKI cân:**
- O nằm giữa B và D. Khi chiếu B và D lên CM, I và K vẫn giữ nguyên khoảng cách từ O đến I và O đến K vì CM không phân cách B và D.
- Do đó, \( OI = OK \).

4. **Kết luận:**
- Khi O là trung điểm và I, K giữ khoảng cách đến O như nhau, nên tam giác OKI là tam giác cân.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu trong đề bài: AMCN là hình bình hành, DEFC là hình thang cân và tam giác OKI là tam giác cân.