Để giải bài toán được đưa ra, ta sẽ lần lượt chứng minh các phần của bài:

### a) Chứng minh: \( \triangle AMB \cong \triangle CMD \)

1. **Xét các cạnh:**
- \( AM = MC \) (vì M là trung điểm của AC)
- \( MB = MD \) (theo giả thiết)

2. **Xét các góc:**
- \( \angle AMB = \angle CMD \) (góc đối đỉnh)

Do đó, từ tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCM), ta có thể kết luận \( \triangle AMB \cong \triangle CMD \).

### b) Chứng minh: \( AD \parallel BC \)

Từ hai tam giác đã chứng minh trên, ta có:

\[
\frac{AM}{MB} = \frac{CM}{MD}
\]

Với \( AM = MC \), ta viết lại như sau:

\[
\frac{AM}{MB} = \frac{AM}{MB}
\]

Cũng có thể lập luận rằng hai góc \( \angle AMB \) và \( \angle CMD \) tương ứng là bằng nhau, do đó suy ra \( AD \parallel BC \) theo tiêu chí góc-góc.

### c) Kẻ MH vuông góc với AB, kẻ MK vuông góc với DC. Chứng tỏ M là trung điểm của HK.

1. **Kẻ MH vuông góc với AB**: Từ điểm M, vẽ đường thẳng MH vuông góc với AB.
2. **Kẻ MK vuông góc với DC**: Tương tự, từ M, vẽ đường thẳng MK vuông góc với DC.

Vì AD // BC, nên \( \angle AMB = \angle CMD \). Điều này cho thấy các góc tương ứng là bằng nhau, dẫn đến \( MH = MK \).

Do M nằm chính giữa hai đường thẳng vuông góc với hai cạnh, ta có thể kết luận rằng M là trung điểm của HK.

Vậy, chúng ta đã hoàn thành các chứng minh trong bài.